TikZ：高校数学：ベクトル・3点が一直線上にある条件

こんにちは。今回は3点が一直線上にある条件を書いておきます。

3点が一直線上にある条件

異なる2点 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ があるとする。
3点 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ が一直線上にある。
$\Longleftrightarrow\bekutoru{AC}=k\bekutoru{AB}$ となる実数 $k$ がある。

例題

【例】△ $\mathrm{ABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$ を1 : 2に内分する点を $\mathrm{P}$ , 辺 $\mathrm{BC}$ を3 : 1に外分する点を $\mathrm{Q}$ , 辺ACを3 : 2に内分する点を $\mathrm{R}$ とする。このとき次の問いに答よ。
(1)　 $\bekutoru{AP}$ , $\bekutoru{AQ}$ , $\bekutoru{AR}$ を $\bekutoru{AB}$ , $\bekutoru{AC}$ を用いて表せ。
(2)　3点 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ は一直線上にあることを示せ。

【解答例】

(1)　問題文から,
$\bekutoru{AP}=\dfrac{1}{1+2}\bekutoru{AB}=\dfrac13\bekutoru{AB}$
$\bekutoru{AQ}=\dfrac{-1\cdot\bekutoru{AB}+3\cdot\bekutoru{AC}}{3-1}=\dfrac{-\bekutoru{AB}+3\bekutoru{AC}}{2}$
$\bekutoru{AR}=\dfrac{3}{3+2}\bekutoru{AC}=\dfrac{3}{5}\bekutoru{AC}$
(2)　(1)より,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{PQ}}&=&\overrightarrow{ \mathstrut \text{AQ}}-\overrightarrow{ \mathstrut \text{AP}}\\&=&\dfrac{-\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+3\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}}{2}-\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}\\&=&\dfrac{-5\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+9\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}}{6}\cdots\maru1\end{array}$
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{PR}}&=&\overrightarrow{ \mathstrut \text{AR}}-\overrightarrow{ \mathstrut \text{AP}}\\&=&\dfrac35\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}-\dfrac13\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}\\&=&\dfrac{-5\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+9\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}}{15}\cdots\maru2\end{array}$
$\maru1$ , $\maru2$ より,
$\bekutoru{PR}=\dfrac{6}{15}\bekutoru{PQ}=\dfrac25\bekutoru{PQ}$
よって, 3点 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ は一直線上にある。

3点が一直線上にある条件

例題

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