高校数学：a⁵＋b⁵の因数分解とその周辺のテクニック

こんにちは。今回は因数分解の話。高2, 高3になって使うかもしれないテクニックですので, しっかりと学んでおいてください。

特徴ある因数分解

特徴ある因数分解の例
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
$\begin{array}{lll}a^6-b^6&=&(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)\\&=&(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\end{array}$

このように因数分解できる。
$a^5+b^5$ の因数分解も同様にできる。
それは $a^5-b^5$ の因数分解において, $b$ を $-b$ に置き換えると, それは実現可能である。
すなわち,
$a^5-(-b)^5=\left\{a-(-b)\right\}\left\{a^4+a^3\cdot(-b)+a^2\cdot(-b)^2+a\cdot(-b)^3+(-b)^4\right\}$
となり,
$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$
という結果を得る。
また, 高2で習う因数定理より, $a^5+b^5$ に $a=-b$ を代入すると0になるので, $a^5+b^5$ は $(a+b)$ を因数に持つということを利用しても因数分解できる。

一般に $a^{2n+1}+b^{2n+1}\, (n$ は0以上の整数)は $(a+b)$ を因数に持つ。
理由は, $a=-b$ とすると,
$(-b)^{2n+1}+b^{2n+1}=-b^{2n+1}+b^{2n+1}=0$ となるからである。
したがって, それを因数分解すると,
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}+a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2+\cdots+ab^{2n-1}+b^{2n})$
となる。
また, 一般に $a^{2n}-b^{2n}$ は $(a+b),\, (a-b)$ を因数に持ち, $a^{2n+1}-b^{2n+1}$ は $(a-b)$ を因数に持つ。

特徴ある因数分解

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