高校数学：整式：単項式と多項式について

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こんにちは。今回は単項式と多項式について書いておきます。

単項式

項が1つの式のことを言います。
【例】 $5x$ , $-a$ , $3a^2b$ , $-3$ などを単項式といいます。

整式

整式とは，単項式の1つ以上の和として表される式。

多項式

多項式とは整式のこと。つまり, 単項式の1つ以上の和として表される式。

【例題】次の式から多項式でないものを選べ。
(1) $5$
(2) $-x^2$
(3) $x+y$
(4) $5a^2-2bc^2+3$
(5) $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

(1)は5(数)だけなので多項式。
(2)は( $-1\times x^2$ )数と文字の積なので多項式。
(3)は( $x$ 単項式)＋( $y$ 単項式)なので多項式。
(4)は( $5a^2$ 単項式)＋( $-2bc^2$ 単項式)＋( $3$ 単項式)なので多項式。
(5)は分数式で多項式には分類されません。
このように,
$\bullet$ 　多項式は整式のことで, 項が1つ以上あるものをいいます。したがって, 高校では中学のときに単項式だったものは多項式に含まれます。しかし, $\dfrac{1}{x}$ は分数式, $\sqrt{x}$ は無理式といって, 整式に分類されません。
したがって, (5)は多項式ではありません。
$\bullet$ 　項が無限に続くものも多項式とはいいません。

単項式の係数と次数

【例題】次の式の係数と次数を答えよ。
(1) $5x^2$
(2) $y$
(3) $\dfrac{x^2y}{3}$
(4) $-a^3b^2$

(1)は $5\times x\times x$ なので, 係数は5, 次数は2
(2)は $1\times y$ なので, 係数は1, 次数は1
(3)は $\dfrac13\times x\times x\times y$ なので, 係数は $\dfrac13$ , 次数は3
(4)は $-1\times a\times a\times a\times b\times b$ なので, 係数は $-1$ , 次数は5

このように, 単項式の場合,
係数は文字とかけ合わさっている数のこと,
次数はかけ合わさっている文字の数を意味します。

多項式の係数と次数

【例題】次の式の次数を答え, 文字を含む項については係数を答えよ。
(1) $5x^2+3x^2y-xy+3$
(2) $4a+a^2b-3ab^2-2c^2$

(1)の多項式を, 項(単項式)で分けると, $5x^2$ , $3x^2y$ , $-xy$ , $3$ となり, それぞれの次数を見ると,
$5x^2$ は次数2
$3x^2y$ は次数3
$-xy$ は次数2
$3$ は次数0
よって, 多項式では次数の一番高いものを1つ選んで, その式の次数とするので, この場合の次数は3になります。
係数を見ていくと,
$x^2$ の係数は $5$
$x^2y$ の係数は $3$
$xy$ の係数は $-1$
となります。
(2)も同様に行うと,
$4a$ は次数1
$a^2b$ は次数3
$-3ab^2$ は次数3
$-2c^2$ は次数2
よって, 多項式では次数の一番高いものを1つ選んで, その式の次数とするので, この場合の次数は3になります。
係数を見ていくと,
$a$ の係数は $4$
$a^2b$ の係数は $1$
$ab^2$ の係数は $-3$
$c^2$ の係数は $-2$
となります。