高校数学：剰余の定理と整式の余りの問題の解法②

こんにちは。剰余の定理と整式の定数決定問題①のところで触れた問題とはまた別のパターンの問題をやってみようと思う。それでは早速やってみよう。

例題

【例題】整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りが5, $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-4$ であるとき, 整式 $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの余りを求めよ。

【出題の狙い】
この問題の余りは, 割る式の $(x-1)(x+1)^2\,$ (3次式)より, 次数が1つ低いので, 2次式 $ax^2+bx+c$ が余りの式となる。
つまり, 求める定数は, $a, b, c$ の3つあるのだが, 割る式は, $x-1$ と $(x+1)^2$ の2つしかなく, $a, b, c$ に関する式は2つしか作れないように見える。それを打破するのが, この問題の狙いである。
【解法の着眼】
15を6で割った余りを求めるのに, $15=6\cdot1+9$ として, 9を6で割った余りと, 15を6で割った余りが等しくなるという関係に着眼する。つまり, $A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$ とし, そのときの残りの数 $R\ (R>B)$ とすると,
$A=QB+R$ $(R>B)$ のとき, 本当の余り $r$ は, $R=qB+r$ $(B>r)$ となることに注目。
【解法】
問題より, $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q(x)$ , $(x+1)^2$ で割ったときの商を $R(x)$ , $(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの商を $S(x)$ とすると,
$P(x)=(x-1)Q(x)+5\cdots\maru1$ ,
$P(x)=(x+1)^2R(x)+x-4\cdots\maru2$
$P(x)=(x-1)(x+1)^2S(x)+ax^2+bx+c\,$ ( $\ a, b, c$ は定数) $\cdots\maru3$
とおける。
$\maru1$ より, $P(1)=5$ なので, $\maru3$ で $x=1$ とすると,
$P(1)=a+b+c=5$ となる。
$a+b+c=5\cdots\maru4$
次に $P(-1)$ とすると手詰まりするので, そういくのではなく,
$\maru3$ を $(x+1)^2$ で割ることを考える。すると, $ax^2+bx+c$ は $(x+1)^2$ でまだ割れて, そのときの余りが $x-4$ になることに着眼すると, $\maru3$ は以下のように書き換えることができる。
$P(x)=(x-1)(x+1)^2S(x)+a(x+1)^2+x-4\cdots\maru5$
$\maru5$ の余りの部分を展開すると,
$ax^2+(2a+1)x+a-4$ となり, これは $\maru3$ の余りの部分と等しいので,
$ax^2+bx+c$ と係数比較すると,
$b=2a+1\cdots\maru6$ , $c=a-4\cdots\maru7$ となる。この2式を $\maru4$ に代入すると,
$a+(2a+1)+(a-4)=5$
$a=2$ となり, $\maru6$ , $\maru7$ から, $b=5,\ c=-2$ が得られ,
求める余りは,
$2x^2+5x-2$
となる。
こんな感じで解法していくといいでしょう。
それでは。