受験算数：整数：整数と余りの問題(帝京大学中第一回)

こんにちは。やってみましょう。それではどうぞ。

2019帝京大学中第一回

【問題】次の各問いに答えなさい。
(1) 6で割ると3余り, 7で割ると4余る整数を小さい順に並べます。この並んだ整数のうち2019に最も近い数は, はじめから数えて何番目ですか。
(2) 6で割ると3余り, 7で割ると4余り, 5で割ると4余る整数を小さい順に並べます。この並んだ整数のうち2019より小さい数を全部たすといくつになりますか。
【帝京大学中第一回】

解答例

【解答例】
(1) 6で割って3余り, 7で割って4余るということは, 3をたせば6でも7でも割り切れるということに着目する。
したがってこの数は6と7の最小公倍数の42の倍数から3を引いた数になる。
ここで, $2019\div42=48.07\cdots$ で, $42\times48-3=2013$ , $42\times49-3=2055$ で2013の方が2019に近い。
よって, 48番目 $\cdots$ (答)
(2) このとき, 5で割って4余る数というのは(1)と同様に3をたすと, 5で割って7余る数となり, これは5で割って2余る数と言い換えられる。このとき, 42が条件を満たす数で最も小さく, 42の倍数を見ていくと次に5で割って2余る数は1の位が2になるときであるから, $210(42\times5)$ 増えた252, 次も210増えた462, $\cdots$ となる。
このとき, この数は何個できるか調べると,
$(2019-42)\div210=9.41\cdots$
よって $9+1$ の10個できることがわかる。
10個目の数は, $42+210\times9=1932$
よってこれらの和は,
$(42+1032)\times10\times\dfrac12=9870$
これら全部3たして考えたので,
3を10個分多く求めているので,
$9870-3\times10=9840$
$9840\cdots$ (答)

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2019帝京大学中第一回

解答例

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