高校数学：数III逆関数：逆関数がy=xについて対称である

こんにちは。数IIIの逆関数の話です。それではどうぞ。

逆関数と元の関数はy=xについて対称

関数 $y=f(x)\cdots\maru1$ とその逆関数を $y=g(x)$ とおくことにします。
また, $y=g(x)$ は $x=f(y)$ としたものであるから,
$y=g(x)$ と $x=f(y)$ は同じ式と言えます。そこで $y=g(x)$ 上の点を $P(p, q)$ とおくと,
$q=g(p)$ であり, 同時に, $p=f(q)\cdots\maru2$ であります。 $\maru1$ と $\maru2$ を比べると, $x=q, y=p$ となり, 点 $Q(q, p)$ は関数 $y=f(x)$ 上の点であることがわかります。
このことから, 関数 $y=f(x)$ とその逆関数 $y=g(x)$ は $y=x$ について対称であると言える。

補足

2点 $\mathrm{P}(p, q), \mathrm{Q}(q, p)$ が $y=x$ について対称であることの証明をしておきます。
2点P, Qの傾きは,
$\dfrac{q-p}{p-q}=-1$
2点P, Qの対称の軸の直線は, この傾きに垂直なので, 対象の軸の直線は傾き1である。
また, この傾き1の直線は2点P, Qの中点 $\left(\dfrac{p+q}{2}, \dfrac{p+q}{2}\right)$ を通る。
したがって, その直線の式は,
$y=1\cdot\left(x-\dfrac{p+q}{2}\right)+\dfrac{p+q}{2}$
$y=x$
ゆえに, 2点P, Qは $y=x$ について対称である。

逆関数と元の関数の交点はy=x上にある？

逆関数と元の関数の交点は $y=x$ 上にあるのですか？と聞かれることがたまにあります。結論を言うと, 一部の関数を除いて, グラフの交点は $y=x$ 上に集まります。以下に反例を示すと,
例えば, $y=-x$ の逆関数は $y=-x$ であるため交点は $y=-x$ を満たす, すべての座標になり, 交点は $y=x$ 上にありません。このようにすべての関数で成り立つわけではありませんが, ほとんどの場合で言えます。
【使用例】関数 $f(x)=\sqrt{2(x+1)}-1$ の逆関数 $g(x)$ を求め, $f(x)$ と $g(x)$ の交点を求めよ。
【解答例】 $y=\sqrt{2(x+1)}-1$ とおく,
$x=\sqrt{2(y+1)}-1$
$x+1=\sqrt{2(y+1)}$
$(x+1)^2=2y+2$
$2y=x^2+2x-1$
$y=\dfrac12x^2+x-\dfrac12$
よって逆関数 $g(x)$ は
$g(x)=\dfrac12x^2+x-\dfrac12$
通常は以下の解法でいくと思います。
それは, $f(x)=g(x)$ とおいて解いていく方法です。一旦それで交点を求めてみます。
$\sqrt{2(x+1)}-1=\dfrac12x^2+x-\dfrac12$
$\sqrt{2(x+1)}=\dfrac12x^2+x+\dfrac12$
$\sqrt{2(x+1)}=\dfrac12(x+1)^2$
両辺2乗して4倍すると,
$8(x+1)=(x+1)^4$
$(x+1)\left\{(x+1)^3-8\right\}=0$
$(x+1)(x-1)(x^2+4x+7)=0$
$x^2+4x+7=0$ は実数解をもたない。
よって, $x=\pm1$
これから, 交点は $(1, 1), (-1, -1)$

次に, $y=g(x)$ と $y=x$ の交点で求めてみます。
$g(x)=x$ として,
$\dfrac12x^2+x-\dfrac12=x$
$x^2=1$
$x=\pm1$
よって求める交点は, $(1, 1), (-1, -1)$
こうやって求めることも可能です。
ただし, 一部関数では交点が $y=x$ 上にないものもあるので, その辺はグラフの概形とかで, 確認しておいた方がいいと思います。