高校数学：2次曲線：2次曲線と媒介変数

こんにちは。2次曲線を媒介変数を用いて表すとどうなるか。これについて書いておきます。

媒介変数で表すことの優位性とは

媒介変数で表すことの優位性には大きく2つあると思います。
1つ目は式をシンプルに表すことができる。
例えば円の式, $x^2+y^2=a^2\cdots\maru1$ の $y$ 座標を求める式と言えば, この $\maru1$ 式を $y$ について解いて, $y=\pm\sqrt{a^2-x^2}$ みたいになるわけです。そして, $a^2-x^2\geqq0$ から, $x$ の範囲を求めて $\cdots$ とまぁ面倒なんですよね。
しかし媒介変数を使えば, $\maru1$ 式は,
$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\end{cases}$
とシンプルに表すことができます。
これが1つ目です。
2つ目は, 媒介変数でしか表せない図形があるからです。例えばサイクロイド曲線
$\begin{cases}x=a( t-\sin t )\\y=a(1-\cos t )\end{cases}$
となりますが, $t$ を消去できないので, この表記しかできません。
このような大きく2つの理由から, 媒介変数表示は用いられていると推察します。

放物線の媒介変数表示

【放物線】 $y^2=4px\,$ $(p>0)\cdots\maru1$
単純に $x=t\,$ $( t>0 )$ , とおくと, $y=\pm2\sqrt{pt}$
よって,
$\begin{cases}x=t\ (t>0)\\y=\pm2\sqrt{pt}\end{cases}$
としてもいいのですが, ルートや $\pm$ が出てくるのが厄介だ。ということでもっとシンプルに表せないかということで, $y=2pt$ との交点を考えて, これを $\maru1$ 式に代入し,
$4p^2t^2=4px\to x=pt^2$
として,
$\begin{cases}x=pt^2\\y=2pt\end{cases}$
と表すのが一般的である。
【放物線】 $x^2=4py\,$ $(p>0)\cdots\maru2$
$x=2pt$ との交点を考えて, これを $\maru2$ 式に代入し,
$4p^2t^2=4py\to y=pt^2$
として,
$\begin{cases}x=2pt\\y=pt^2\end{cases}$
と表される。

円の媒介変数表示

【円】 $x^2+y^2=a^2\cdots\maru1$
基本思考は $x^2+y^2=1$ の単位円を考える。このとき, 単位円上の点は $x=\cos t$ , $y=\sin t$ と表される。
$\maru1$ 式は単位円の半径を $a$ 倍したものなので, $x$ 座標, $y$ 座標も $a$ 倍される。
よって,
$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\end{cases}$
と表される。
$\cos t$ と $\sin t$ を入れ換えても成り立つが, 式の意味を考えれば, それは愚問であることがわかる。

楕円の媒介変数表示

【楕円】 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\cdots\maru1$
基本思考は $x^2+y^2=1$ の単位円を考える。このとき, 単位円上の点は $x=\cos t$ , $y=\sin t$ と表される。
$\maru1$ 式は単位円を $x$ 軸方向に $a$ 倍, $y$ 軸方向に $b$ 倍したものなので, $x$ 座標は $a$ 倍, $y$ 座標は $b$ 倍される。
よって,
$\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$
と表される。

双曲線の媒介変数表示

【双曲線】 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\cdots\maru1$
$u=\dfrac{x}{a}$ , $v=\dfrac{y}{b}$ とおくと,
$u^2-v^2=1\cdots\maru1'$
これは2乗したもの同士を引き算して1になる三角関数の公式に着目する。
それがこの公式,
$1+\tan^2t=\dfrac{1}{\cos^2 t}\to\dfrac{1}{\cos^2t}-\tan^2t=1\cdots\maru2$
$\maru1'$ と $\maru2$ を比べると,
$u=\dfrac{1}{\cos t}$ , $v=\tan t\to\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{\cos t}$ , $\dfrac{y}{b}=\tan t$
これを $x, y$ について解くと,
$\begin{cases}x=\dfrac{a}{\cos t}\\y=b\tan t\end{cases}$
と表される。
【双曲線】 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1\cdots\maru3$
$u=\dfrac{x}{a}$ , $v=\dfrac{y}{b}$ とおくと,
$u^2-v^2=-1\cdots\maru3'$
これは2乗したもの同士を引き算して $-1$ になる三角関数の公式に着目する。
それがこの公式,
$1+\tan^2t=\dfrac{1}{\cos^2 t}\to\tan^2t-\dfrac{1}{\cos^2t}=-1\cdots\maru4$
$\maru3'$ と $\maru4$ を比べると,
$u=\tan t$ , $v=\dfrac{1}{\cos t}\to\dfrac{x}{a}=\tan t$ , $\dfrac{y}{b}=\dfrac{1}{\cos t}$
これを $x, y$ について解くと,
$\begin{cases}x=a\tan t\\y=\dfrac{b}{\cos t}\end{cases}$
と表される。