高校数学：数列：数列と漸化式(名工大)

2024年1月5日

こんにちは。やや難し目かもしれませんが, 取り組んでみてください。きっと得るものがあるはずです。

名古屋工業大学

【問題】数列 $\{a_n\}$ は
$a_1=4$ , $a_{n+1}=\dfrac{(3n+4)a_n-9n-6}{(n+1)a_n-3n-1}\,$ $(n=1, 2, 3, \cdots)$
を満たす。
(1) すべての自然数 $n$ に対し, $a_n>3$ であることを示せ。
(2) $b_n=\dfrac{1}{a_n-3}$ とおく。 $b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ の式で表せ。
(3) (2)で定めた数列 $\{b_n\}$ に対し $c_n=b_{n+1}-b_n$ とおく。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。
(4) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
【名工大】