中学数学：研究：連立方程式：2桁の整数を求める問題

こんにちは。今回はこういう見方もあるんだというお話です。

2桁の整数を求めてみよう

2ケタの整数を求める問題で, 以下のような問題を解くときに何か気づくことはあるだろうか？

【問題】2ケタの自然数がある。その数は十の位と一の位の和の6倍に等しく, 十の位と一の位を入れ換えてできる数はもとの数より9小さくなる。もの自然数を求めよ。

である。定石では次のような連立方程式をつくるであろう。

求める自然数の十の位を $x$ , 一の位を $y$ とすると,

$\begin{cases}10x+y=6(x+y)\ \ \ \ \, \cdots\maru1\\10y+x=10x+y-9\cdots\maru2\end{cases}$

ただ, この問題では $\maru1$ の式で十分答えは得られる。
それはこうだ。
$\maru1$ 式を計算すると, $4x=5y$ が得られる。これは $x : y=5 : 4$ と同じ意味で, 自然数を表す文字を $k$ として, $x : y=5k : 4k$ とすると, $(x, y)$ の組み合わせが無数にありそうだが, 問題には2ケタの自然数とあるので, この条件を満たすのは $k=1$ のときである。したがって, 上の連立方程式の解は, $\maru2$ の式を使わなくとも $(x, y)=(5, 4)$ である。