高校数学：軌跡の基本的な解法②

こんにちは。相城です。今回は軌跡の基本的な解法の第2弾ということで書いておきます。例題を見ながらいきます。

軌跡の基本的な解法②

【例】点Qが円 $x^2+y^2-4y=0$ 上を動くとき, 点A( $-4, 0$ )と点Qを結ぶ線分AQを $3 : 1$ に内分する点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点P( $x, y$ ), 点Q( $p, q$ )とすると,
$p^2+q^2-4q=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
点Pの座標は分点の公式を用いて,
$\text{P}\left(\dfrac{3p+4}{3+1}, \dfrac{3q}{3+1}\right)\Longrightarrow\text{P}\left(\dfrac{3p+4}{4}, \dfrac{3q}{4}\right)$
つまり,
$x=\dfrac{3p+4}{4}, y=\dfrac{3q}{4}$
これをそれぞれ $p, q$ について解くと,
$p=\dfrac{4x+4}{3}, q=\dfrac{4y}{3}$
これを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入して,
$\left(\dfrac{4x+4}{3}\right)^2+\left(\dfrac{4y}{3}\right)^2-4\cdot\dfrac{4y}{3}=0$
$\dfrac{16}{9}(x+1)^2+\dfrac{16}{9}y^2-\dfrac{16}{3}y=0$
$(x+1)^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac94$
よって, 点Pはこの円上にある。
したがって, 求める軌跡は点 $\left(-1, \dfrac32\right)$ とする半径 $\dfrac32$ の円

解法のコツ

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　円周上の点QをQ $(p, q)$ とし, 円の方程式に代入し $p, q$ の関係式をつくる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　点P $(x, y)$ を $p, q$ を用いて表す。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\textcircled{\scriptsize 2}$ で求めた式を, $p, q$ について解き, $\textcircled{\scriptsize 1}$ の関係式に代入して求める。

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