高校数学：2直線のなす角の解法(ベクトル編)

こんにちは。今回は2直線のなす角をベクトルを用いて求めてみましょう。

例題を見ていこう

【例題】2直線 $x-2y+2=0$ , $3x-y+2=0$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし, $\theta$ は鋭角とする。
【解法①：方向ベクトルを用いる場合】先ずは与式を $y$ について解き, グラフを描いて様子を見る。

2つのグラフは $y=\dfrac12 x+1$ と $y=3x+2$ なので, 傾きから方向ベクトルを求めると, それぞれ, (2, 1), (1, 3)となります。この2つを成分とするベクトルの内積関係の公式から $\cos\theta$ を求める作業を行います。
$\overrightarrow{\mathstrut a}=(2, 1), \overrightarrow{\mathstrut b}=(1, 3)$ とすると,
$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=2\cdot1+1\cdot3=5$
$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$
$|\overrightarrow{\mathstrut b}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
内積の公式より,
$\begin{array}{lll}\cos\theta&=&\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}}{| \overrightarrow{ \mathstrut a} | | \overrightarrow{ \mathstrut b} |}\\&=&\dfrac{5}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt2}\end{array}$
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$
より, $\theta=\dfrac{\pi}{4}$
【解法②：法線ベクトルを用いる場合】
2直線 $x-2y+2=0$ , $3x-y+2=0$ の法線ベクトルはそれぞれ $\overrightarrow{ \mathstrut a}=(1, -2)$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}=(3, -1)$ なので, 2つのベクトルの内積は
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=1\cdot3+(-2)\cdot(-1)=5$
また,
$|\overrightarrow{ \mathstrut a}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5$
$|\overrightarrow{ \mathstrut b}|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$
内積の公式より,
$\begin{array}{lll}\cos\theta&=&\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}}{| \overrightarrow{ \mathstrut a} | | \overrightarrow{ \mathstrut b} |}\\&=&\dfrac{5}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt2}\end{array}$
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$
より, $\theta=\dfrac{\pi}{4}$

こんな感じで求めていきます。

例題を見ていこう

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