emath：高校数学：整式の除法を用いた式の値の解法

こんにちは。今回は少々面倒な式の値も整式の除法を用いることで, 平易に求められるという事実を書いておきますね。例題を見ながらいきましょう。

代入値が有理数＋無理数の場合の例題

【例】 $x=2-\sqrt3$ のとき, $x^4-3x^3-4x^2-3x-1$ の値を求めよ。
【解法】
$x=2-\sqrt3$ から, $x-2=-\sqrt3$ として, 両辺に乗すると,
$(x-2)^2=\left(-\sqrt3\right)^2$
$x^2-4x+4=3$ より,
$x^2-4x+1=0$ を得る。
この式で, $x^4-3x^3-4x^2-3x-1$ を割ると,

となり,
$x^4-3x^3-4x^2-3x-1=\underline{( x^2-4x+1 )( x^2+x-1 )}-8x$
と変形でき, 下線部は0 $(x^2-4x+1=0$ から)なので, 求める式の値は $-8x$ の式の値を同値になる。
よって, 求める値は, $-8(2-\sqrt3)=-16+8\sqrt3\cdots$ (答)

代入値が有理数＋複素数の場合の例題

もう1つ $x$ の値が複素数の場合の例題をやっておこう。
【例】 $x=1-\sqrt2 i$ のとき, $x^4-3x^3+4x^2-3x-1$ の値を求めよ。
【解法】先と同様に式変形を行っていく。
$x=1-\sqrt2 i$ から, $x-1=-\sqrt2 i$ として, 両辺に乗すると,
$(x-1)^2=\left(-\sqrt2 i\right)^2$
$x^2-2x+1=-2$ より,
$x^2-2x+3=0$ を得る。
この式で, $x^4-3x^3+4x^2-3x-1$ を割ると,

となり,
$x^4-3x^3+4x^2-3x-1=\underline{( x^2-2x+3 )( x^2-x-1 )}-2x+2$
と変形でき, 下線部は0 $(x^2-2x+3=0$ から)なので, 求める式の値は $-2x+2$ の式の値を同値になる。
よって, 求める値は, $-2(1-\sqrt2 i)+2=2\sqrt2 i\cdots$ (答)

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