こんにちは。今回は複素数はベクトルと同じように扱えるよというお話です。それではどうぞ。
複素数はベクトルと同一視できる
複素数
,
を考えると, 2つの複素数の和は, ベクトルの和が,
座標と
座標の和であったように,
複素数も実数部の和と虚数部の和で合成される。したがって,
![Rendered by QuickLaTeX.com (1+2i)+(3+i)=1+3+2i+i=4+3i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f43fa71548135a42c86869c8bd059576_l3.png)
となる。(右図参照)
これはベクトルの合成と同じ考え方
![Rendered by QuickLaTeX.com 1+2i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f40e3f69fdbc3d2b6d6833beba636f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 3+i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90cd35c8b55487385ea87e91b97f47ea_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d76ceac31cb52dd9eb4431a14c502dc_l3.png)
複素数も実数部の和と虚数部の和で合成される。したがって,
![Rendered by QuickLaTeX.com (1+2i)+(3+i)=1+3+2i+i=4+3i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f43fa71548135a42c86869c8bd059576_l3.png)
となる。(右図参照)
これはベクトルの合成と同じ考え方
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/09/fukusobeku1.png)
複素数はベクトルと同じ
4つの点を結ぶと平行四辺形になる。
平行四辺形の4つの頂点を原点から反時計回りにO
とすると,
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha+\beta=\gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27bcc4af125a4aeced17c7ce068f75bf_l3.png)
が成り立つ。(上図参照)
複素数はベクトルのように扱ってもOK
平行四辺形の4つの頂点を原点から反時計回りにO
![Rendered by QuickLaTeX.com , \alpha, \gamma, \beta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9ae7e5ff849fefaddf6ed631af643a9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha+\beta=\gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27bcc4af125a4aeced17c7ce068f75bf_l3.png)
が成り立つ。(上図参照)
複素数はベクトルのように扱ってもOK
複素数
,
を考えると, 2つの複素数の差は, ベクトルの差が,
座標と
座標の差であったように,
複素数も実数部の和と虚数部の差で合成される。したがって,
![Rendered by QuickLaTeX.com (1+2i)-(3+i)=1-3+2i-i=-2+i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ca17595d18d9135efb28c77eed7eb55_l3.png)
となる。(右図参照)
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta-\alpha=\gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37a3529422f197b9cee8a591ca953266_l3.png)
つまり
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha+\gamma=\beta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50ce2466de92db6e9994a5c31a53d3f5_l3.png)
でもある。
![Rendered by QuickLaTeX.com 1+2i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f40e3f69fdbc3d2b6d6833beba636f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 3+i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90cd35c8b55487385ea87e91b97f47ea_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d76ceac31cb52dd9eb4431a14c502dc_l3.png)
複素数も実数部の和と虚数部の差で合成される。したがって,
![Rendered by QuickLaTeX.com (1+2i)-(3+i)=1-3+2i-i=-2+i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ca17595d18d9135efb28c77eed7eb55_l3.png)
となる。(右図参照)
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta-\alpha=\gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37a3529422f197b9cee8a591ca953266_l3.png)
つまり
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha+\gamma=\beta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50ce2466de92db6e9994a5c31a53d3f5_l3.png)
でもある。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/09/fukusobeku2.png)
複素数はベクトルと同じ
4つの点を結ぶと平行四辺形になる。
平行四辺形の4つの頂点を原点から反時計回りにO
とすると,
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta-\alpha=\gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37a3529422f197b9cee8a591ca953266_l3.png)
が成り立つ。(上図参照)
複素数はベクトルのように扱ってもOK
平行四辺形の4つの頂点を原点から反時計回りにO
![Rendered by QuickLaTeX.com , \alpha, \beta, \gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e02372ac7fb19f52433e76b04b7a900_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta-\alpha=\gamma](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37a3529422f197b9cee8a591ca953266_l3.png)
が成り立つ。(上図参照)
複素数はベクトルのように扱ってもOK
複素数
の実数倍のとき, ベクトルの実数倍が,
であると同じように,
複素数も同様に,
となります。
右図は複素数
の3倍の複素数(赤線)を表している。
![Rendered by QuickLaTeX.com 3(1+2i)=3+6i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcf8fcd2c012f3eddd06c19c4ef9d0d2_l3.png)
となる。
![Rendered by QuickLaTeX.com 1+2i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f40e3f69fdbc3d2b6d6833beba636f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \bekutoru{OB}=k\bekutoru{OA}=k(a, b)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5810f7ebb123966cc8105bd1f91061e7_l3.png)
複素数も同様に,
![Rendered by QuickLaTeX.com kz=k(a+bi)=ka+kbi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90d50a40dd5a5d6152b21ae60669c35a_l3.png)
右図は複素数
![Rendered by QuickLaTeX.com 1+2i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f40e3f69fdbc3d2b6d6833beba636f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 3(1+2i)=3+6i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcf8fcd2c012f3eddd06c19c4ef9d0d2_l3.png)
となる。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/09/fukusojissubai.png)
複素数はベクトルと同じ
![Rendered by QuickLaTeX.com \bekutoru{OB}=k\bekutoru{OA}=k(a, b)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5810f7ebb123966cc8105bd1f91061e7_l3.png)
複素数も同様に,
![Rendered by QuickLaTeX.com kz=k(a+bi)=ka+kbi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90d50a40dd5a5d6152b21ae60669c35a_l3.png)
複素数はベクトルのように扱ってもOK