高校数学：ベクトル：空間ベクトル(四面体)の問題

こんにちは。定期テストに出てくるレベルの問題ですが, 大切な問題なのでしっかりやっていきましょう。

頻出問題

次の問題の【ア】～【カ】に適する数を埋めよ。
四面体OABCにおいて, 辺OBを2 : 1に内分する点をD, 辺OCの中点をE, △ABCの重心をG, 直線OGと平面ADEの交点をPとする。 $\bekutoru{OG}=$ 【ア】 $\left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}} +\overrightarrow{\text{OC}}\right)$ であり, $\bekutoru{OP}=k\bekutoru{OG}$ ( $k$ は実数)とすると, $\bekutoru{OP}=$ 【イ】 $k\bekutoru{OA}+$ 【ウ】 $k\bekutoru{OD}+$ 【エ】 $k\bekutoru{OE}$ となる。点Pが平面ADE上にあるとき, $k=$ 【オ】であるから, $\bekutoru{OP}=$ 【カ】 $\left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}} +\overrightarrow{\text{OC}}\right)$ である。

【解答】
Gは△ABCの重心であるから,
$\bekutoru{OG}=\dfrac13 \left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}} +\overrightarrow{\text{OC}}\right)$
【ア】 $=\dfrac13$
$\begin{array}{lll} \overrightarrow{\text{OP}}&=& k \overrightarrow{\text{OG}} \\&=&\dfrac13k \overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13k \overrightarrow{\text{OB}}+\dfrac13k \overrightarrow{\text{OC}}\\&=&\dfrac13k \overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13k\cdot\dfrac32 \overrightarrow{\text{OD}}+\dfrac13k\cdot 2\overrightarrow{\text{OE}}\\&=&\dfrac13k \overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac12k \overrightarrow{\text{OD}}+\dfrac23k \overrightarrow{\text{OE}} \end{array}$
【イ】 $=\dfrac13$ , 【ウ】 $=\dfrac12$ , 【エ】 $=\dfrac23$
Pは平面ADE上にあるので,
$\dfrac13k+\dfrac12k+\dfrac23k=1$
$k=\dfrac23$
【オ】 $=\dfrac23$
$\begin{array}{lll} \overrightarrow{\text{OP}}&=&\dfrac13\cdot\dfrac23 \left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}} +\overrightarrow{\text{OC}}\right) \\&=&\dfrac29 \left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}} +\overrightarrow{\text{OC}}\right) \end{array}$
【カ】 $=\dfrac29$

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