TikZ：高校数学：複素数・2直線のなす角と求め方

こんにちは。今回は複素数平面上で, 2直線のなす角を求めていきます。

複素数の回転から考える

複素数平面上の3点 $\mathrm{A}(\alpha)$ , $\mathrm{B}(\beta)$ , $\mathrm{C}(\gamma)$ のつくる $\kaku{BAC}$ の大きさを考えてみようと思います。

今, 点 $\mathrm{B}(\beta)$ を点 $\mathrm{A}(\alpha)$ を中心に $\theta$ だけ反時計回りに回転させた点を $\mathrm{C}(\gamma)$ とします。この場合, 点 $\mathrm{B}(\beta)$ を回転させるときは, 回転の中心である $\mathrm{A}(\alpha)$ を原点に移動して考えるとよいので, 次の図の赤線部のように各点を移動させて考える。

このとき, 点 $\mathrm{C}'(\gamma-\alpha)$ は, $\mathrm{B}'(\beta-\alpha)$ を原点を中心に $\theta$ だけ反時計回りに回転させたものなので, 次の式で与えられる。
$\gamma-\alpha=(\cos\theta+i\sin\theta)(\beta-\alpha)$
この式の両辺を $\beta-\alpha$ で割ると,
$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\cos\theta+i\sin\theta$
となり,
$\theta=\mathrm{arg}\, \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ となります。
したがって, $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ を極形式で表せば, 2直線のなす角 $\theta$ は求まるということになります。

問題

【問】複素数平面上の3点, $\mathrm{A}(1+2i)$ , $\mathrm{B}(3+3i)$ , $\mathrm{C}(2+5i)$ について, $\kaku{BAC}$ の大きさを求めよ。

解答　クリックしてください

$\alpha=1+2i$ , $\beta=3+3i$ , $\gamma=2+5i$ とするとき,

$\begin{array}{lll}\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}&=&\dfrac{(2+5i)-(1+2i)}{(3+3i)-(1+2i)}\\&=&\dfrac{1+3i}{2+i}\\&=&\dfrac{(1+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\\&=&1+i\\&=&\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\end{array}$

よって, $\kaku{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$