TikZ：高校数学：複素数・同一直線に並ぶ, 垂直に交わるときの性質

こんにちは。今回は複素数平面上で, 異なる3点が同一直線上に並ぶ場合と, 垂直に並ぶ場合ではどのような性質があるのか書いておきます。

3点が一直線上に並ぶとき

複素数平面上の3点 $\mathrm{A}(\alpha)$ , $\mathrm{B}(\beta)$ , $\mathrm{C}(\gamma)$ のつくる $\kaku{BAC}$ の大きさを考えてみようと思います。同一直線上に並ぶ場合は, この $\kaku{BAC}$ が $0\,(0\Deg)$ ( $\mathrm{C}$ が $\mathrm{A}$ から見て $\mathrm{B}$ と同じ側にあるとき), または, $\pi\,(180\Deg)$ ( $\mathrm{C}$ が $\mathrm{A}$ から見て $\mathrm{B}$ と反対側にあるとき)になることが考えられます。

このとき, $\kaku{BAC}=\theta$ を表す式は,
$\theta=\mathrm{arg}\,\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=0,\pi$ なので,
$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r(\cos0+i\sin0)=r$
$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r(\cos\pi+i\sin\pi)=-r$
となりともに実数になります。
つまり, 3点が同一直線上にある場合, $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ の値は実数になります。
※2直線のなす角についてはこちらの記事を参照ください。

2直線が垂直に交わるとき

垂直に交わる場合も, 複素数平面上の3点 $\mathrm{A}(\alpha)$ , $\mathrm{B}(\beta)$ , $\mathrm{C}(\gamma)$ のつくる $\kaku{BAC}$ の大きさを考えてみようと思います。垂直に交わる場合は, この $\kaku{BAC}$ が $\dfrac{\pi}{2}(90\Deg)$ , または $-\dfrac{\pi}{2}(-90\Deg)$ になることが考えられます。

このとき, $\kaku{BAC}=\theta$ を表す式は,
$\theta=\mathrm{arg}\,\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}$ なので,
$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)=ri$
$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right\}=-ri$
となりともに実数部のない純虚数になります。
つまり, 2直線が垂直に交わる場合, $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ の値は純虚数になります。
※2直線のなす角についてはこちらの記事を参照ください。

問題

$a, b$ は実数とする。複素数平面上の4点 $\mathrm{A}(a+i)$ , $\mathrm{B}(b-i)$ , $\mathrm{C}(-1+6i)$ , $\mathrm{D}(3-4i)$ について, 次の問いに答よ。
$(1)\,\,$ 3点 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ が一直線上にあるとき, $a$ の値を求めよ。
$(2)\,\,$ 2直線 $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CD}$ が垂直に交わるとき, $b$ の値を求めよ。

解答　クリックしてください

$\alpha=a+i$ , $\beta=b+2i$ , $\gamma=-1+6i$ , $\delta=3-4i$ とする。
$(1)\,\,$ 3点 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ が一直線上にあるとき,
$\dfrac{\alpha-\delta}{\gamma-\delta}$ が実数なので,
$\begin{array}{lll}\dfrac{\alpha-\delta}{\gamma-\delta}&=&\dfrac{(a+i)-(3-4i)}{(-1+6i)-(3-4i)}\\&=&\dfrac{(a-3)+5i}{-4+10i}\\&=&\dfrac{\{(a-3)+5i\}(-4-10i)}{(-4+10i)(-4-10i)}\\&=&\dfrac{(36-2a)+(5-5a)i}{58}\end{array}$
虚数部は0になるので, $5-5a=0$
よって, $a=1$
$(2)\,\,$ 2直線 $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CD}$ が垂直に交わるとき,
$\dfrac{\beta-\gamma}{\delta-\gamma}$ が純虚数なので,
$\begin{array}{lll}\dfrac{\beta-\gamma}{\delta-\gamma}&=&\dfrac{(b+2i)-(-1+6i)}{(3-4i)-(-1+6i)}\\&=&\dfrac{(b+1)-4i}{4-10i}\\&=&\dfrac{\{(b+1)-4i\}(4+10i)}{(4-10i)(4+10i)}\\&=&\dfrac{(22+2b)+(5b-3)i}{58}\end{array}$
実数部は0になるので, $22+2b=0$
よって, $b=-11$