こんにちは。今回は平均値の定理について書いておきます。
平均値の定理
関数が閉区間
で連続, 開区間
で微分可能ならば,
を満たすが少なくとも1つは存在する。
これの意味するところは, この区間ABにおいて, 直線ABに平行な接線が, 少なくとも1本は引けるということである。したがって, (直線ABの傾き)
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
また, よくある質問で, 閉区間で連続で, 開区間で微分可能という表現で, 閉区間で微分可能ではだめなのですか?とよく聞かれる。これは関数が閉区間
![Rendered by QuickLaTeX.com a\leqq x\leqq b](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3d43ca1a575e0dbcaf691f4e0d1fce9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e4239cd9fe5a53bc98c863c75818b12_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e4239cd9fe5a53bc98c863c75818b12_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com b](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d3b74b93cf8d3562b537c81c243a48c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com b](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d3b74b93cf8d3562b537c81c243a48c_l3.png)
【例】平均値の定理を用いて, 極限を求めよ。
【解答例】なので,
と考えてよい。このとき,
である。
関数はすべての実数
において微分可能である。また,
より, 閉区間
において平均値の定理を用いると,
,
を満たすが存在する。
ここで, ,
であるから,
よって,
【例】関数について,
のとき,
を満たすを,
で表せ。また, 極限
を求めよ。
【解答例】より,
であるから, これらを与式に代入すると,
これをについて解く。条件より
であるから,
の右辺の分子の有理化を行うと,
よって,
以上より,