高校数学：数III微分・接線と法線の方程式

こんにちは。今回は接線, 法線の方程式に関することを書いておきます。

接線と法線の方程式

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(a, f(a))$ における接線, 法線の方程式は,
【接線】
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
【法線】
$y=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a)$ , $\, \, (f'(a)\neq 0)$
$x=a$ , $\, \, (f'(a)=0)$

$f'(a)$ が存在しなくても, $x=t$ , $y=s$ のような式で接線や法線が求められる場合がある。

問題を見てみよう

【例】曲線 $y=x^2+x$ 上の点 $(-3, 6)$ における接線と法線の方程式を求めよ。

【解答例】 $f(x)=x^2+x$ とおくと, $f'(x)=2x+1$ なので, $f'(-3)=-5$
したがって, 接線の方程式は,
$y=-5\left\{x-(-3)\right\}+6$
$y=-5x-9$
法線の方程式は,
$y=-\dfrac{1}{-5}\left\{x-(-3)\right\}+6$
$y=\dfrac15x+\dfrac{33}{5}$

【例】2つの曲線 $y=e^x$ , $y=-e^{-x}$ に共通な接線の方程式を求めよ。

【解答例】 $f(x)=e^x$ , $g(x)=-e^{-x}$ とおく,
曲線 $f(x)$ 上の接点を $\mathrm{P}(p, e^p)$ とおいて, 点 $\mathrm{P}$ を通る接線を考える。
$f'(x)=e^x$ , なので, 接線の方程式は,
$y=e^p(x-p)+e^p$
$y=e^p x+(1-p)e^p\cdots\maru1$
同様に, 曲線 $g(x)$ 上の接点を $\mathrm{Q}(q, -e^{-q})$ とおいて, 点 $\mathrm{Q}$ を通る接線を考える。
$g'(x)=e^{-x}$ なので, 接線の方程式は,
$y=e^{-q}(x-q)-e^{-q}$
$y=e^{-q}x-(1+q)e^{-q}\cdots\maru2$
$\maru1$ と $\maru2$ は一致するので,
$e^p=e^{-q}\cdots\maru3$ , $(1-p)e^p=-(1+q)e^{-q}\cdots\maru4$
$\maru3$ より, $p=-q$ で, これを $q=-p$ として $\maru4$ に代入すると,
$(1-p)e^p=-(1-p)e^p$
$1-p=-1+p$
$p=1$
これを $\maru1$ に代入して, $y=ex$
よって, 求める接線の方程式は $y=ex$

接線と法線の方程式

問題を見てみよう

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