高校数学：空間ベクトル：球の中心の座標と半径(信州大)

こんにちは。基本問題かと思いますので, やっていきましょう。

2013信州大

【問題】座標空間において, 3点A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2)を通る平面を $\alpha$ とする。3点A, B, Cを通る球面の中心Mが平面 $\alpha$ 上にあるとき, Mの座標と球面の半径 $r$ を求めよ。
【信州大】

解答例

【解答例】
△ABCは $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ の二等辺三角形なので, 球の中心Mは頂角Aの二等分線上にある。
また, A, B, Cを通ることから, Mは△ABCの外心である。
頂角Aの二等分線と底辺BCの交点をNとすると, Nの座標はBCの中点であるから, $\mathrm{N}(0, 1, 1)$ である。
このとき, $\bekutoru{AN}=(-1, 1, 1)$ なので, $\bekutoru{AM}=t\bekutoru{AN}$ 。
よって, $\bekutoru{AM}=(-t, t, t)$ である。
$\bekutoru{AB}=(-1, 2, 0)$ , $\bekutoru{BM}=-\bekutoru{AB}+\bekutoru{AM}$ なので,
$\bekutoru{BM}=(1, -2, 0)+(-t, t, t)=(1-t, t-2, t)$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AM}}\right|^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{BM}}\right|^2$ なので,
$(-t)^2+t^2+t^2=(1-t)^2+(t-2)^2+t^2$
これを解いて,
$t=\dfrac56$
$\bekutoru{AM}=\left(-\dfrac56, \dfrac56, \dfrac56\right)$
$\bekutoru{AM}=-\bekutoru{OA}+\bekutoru{OM}$ なので,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\mathrm{OM}}&=&\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\&=&\left(-\dfrac56, \dfrac56, \dfrac56\right)+(1, 0, 0)\\&=&\left(\dfrac16, \dfrac56, \dfrac56\right)\end{array}$
$\begin{array}{lll}r&=&\left|\overrightarrow{\mathrm{AM}}\right|\\&=&\dfrac{5\sqrt3}{6}\end{array}$
以上より,
$\mathrm{M}\left(\dfrac16, \dfrac56, \dfrac56\right)$ , $r=\dfrac{5\sqrt3}{6}$

2013信州大

解答例

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