高校数学：指数・対数：対数の問題(東北学院大学)

2023年8月7日

こんにちは。対数の処理の問題です。慣れてない人はその試行を覚えておくといいですよ。

2020東北学院大学

【問題】 $a,\, M$ を正の実数とする。以下の問いに答えよ。
(1) $a^{2\log_aM}$ を $M$ のみの式で表せ。
(2) $8^{-\log_23}$ を簡単にせよ。
(3) 方程式 $\log_3\left(\sqrt{x^{-3}}\right)=-\log_98^{-\log_23}$ を満たす実数 $x$ を求めよ。
【東北学院大学】

解答例

【解答例】
(1) $t=a^{2\log_aM}$ とおく。
両辺を底が $a$ の対数をとると
$\log_at=2\log_aM=\log_aM^2$
よって, $t=M^2$
$M^2\cdots$ (答)
(2) $t=8^{-\log_23}$ とおく。
両辺を底が2の対数をとると
$\begin{array}{lll}\log_2t&=&-\log_23\log_28\\&=&-3\log_23\\&=&\log_23^{-3}\\&=&\log_2\dfrac{1}{27}\end{array}$
よって $t=\dfrac{1}{27}$
$\dfrac{1}{27}\cdots$ (答)
(3) (2)より
$\begin{array}{lll}\log_3\left(\sqrt{x^{-3}}\right)&=&-\log_9\dfrac{1}{27}\\&=&\log_927\\&=&\dfrac{\log_327}{\log_39}\\&=&\dfrac{3}{2}\end{array}$
この式の意味から,
$\sqrt{x^{-3}}=3^{\frac32}$
両辺2乗して
$\dfrac{1}{x^3}=3^3$
$x^3=\dfrac{1}{27}$
$x>0$ より,
$x=\dfrac13\cdots$ (答)

2020東北学院大学

解答例

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