こんにちは。頻出系ですかね。それではいってみましょう。
【問題】異なる正の実数について,
と
の大小関係を考える。
(1) のグラフを考えることにより,
と
の大小関係を調べよ。
(2) と
の大小関係を次の場合において答えよ。
( i
)
( ii
)
(3) と
の大小関係を調べよ。
【予備知識】
まず, を比較するのに,
が出てくるのはなぜだろうという疑問が生じるかもしれない。
そこで, と
をイコールで結んでみることにすると,
両辺乗すると,
となる。
この両辺の自然対数をとると,
となって, の大小関係で比較ができるという仕組みになっている。
【解答例】
(1)となるのは,
のとき,
グラフを書くと以下のようである。
このとき,
![Rendered by QuickLaTeX.com 0<x\leqq e](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5446c2c44d01710f5f57fe3708700db_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e\leqq x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf43aeaaf2da3124ab43f3f5763b58ca_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\log e}{e}>\dfrac{\log\pi}{\pi}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-372bf0947d8ff80f0c89e112af4fc75b_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi\log e>e\log\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-630c12fe8e3db581aa072c5cc9377b87_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com e^{\pi}>\pi^e](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2d67eb8a47568d359366729a78f22aa_l3.png)
単純に【予備知識】示し, グラフから
![Rendered by QuickLaTeX.com e<\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ba1a0248fb1ab2c378c53b628947b23_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com e^{\pi}>\pi^e](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2d67eb8a47568d359366729a78f22aa_l3.png)
(2)
(
![Rendered by QuickLaTeX.com \,](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c465003893c06becb6103897a1de0bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \,](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c465003893c06becb6103897a1de0bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a<b](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8ff957b67eca0d864ab6158aba1d71d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a^b<b^a](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d00d0c5c65718e163872f42e0677318_l3.png)
(
![Rendered by QuickLaTeX.com \,](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c465003893c06becb6103897a1de0bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \,](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c465003893c06becb6103897a1de0bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a<b](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8ff957b67eca0d864ab6158aba1d71d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a^b>b^a](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d2e5fb20c7caf5a2b0a24305dd2e43e_l3.png)
(3)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2<e<\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed349894602a98f62a3fb024bab2d2c0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (2)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29897d0d4516f321def516a118c99fc2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2^{\pi}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b93b3f0daf757752a8c784959fc72b25_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd74b312ae362414d2daaca3b127e431_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4^{\pi}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92bdf36fdd9669edce7c7c9c48769a97_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi^4](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-028c37752c194ccdb785336febbcfe2e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e<\pi<4](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5258dc178c0bece32a48c55ff29ff66f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4^{\pi}<\pi^4](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79505545c3c89ef3bf9948b5c1e420b2_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com 2^{\pi}<\pi^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cb4d68ca03be7f9c24e6a962c8ae730_l3.png)