高校数学：記数法：2進数の循環小数(東京都市大学)

こんにちは。基本問題ですかね？それではどうぞ。

東京都市大学

【問題】2進法で循環小数 $0.\dot{1}0\dot{1}_{(2)}=0.101101\cdots_{(2)}$ と表される数を10進法で表せ。
【東京都市大学】

解答・解説

【解答】 $\dfrac57$
【解説】
$0.101101\cdots=0+2^{-1}\times1+2^{-2}\times0+2^{-3}\times1+2^{-4}\times1+2^{-5}\times0+2^{-6}\times1+\cdots$
だから, これを $x$ とおくと,
$x=0+2^{-1}\times1+2^{-2}\times0+2^{-3}\times1+2^{-4}\times1+2^{-5}\times0+2^{-6}\times1+\cdots$
この両辺に $2^3$ をかけると,
$8x=0+2^2\times1+2^1\times0+2^{0}\times1+2^{-1}\times1+2^{-2}\times0+2^{-3}\times1+\cdots$
$8x=5+2^{-1}\times1+2^{-2}\times0+2^{-3}\times1+2^{-4}\times1+2^{-5}\times0+2^{-6}\times1+\cdots$
これから $x$ を引くと,
$\begin{array}{ccrll}&&8x&=&5+2^{-1}\times1+2^{-2}\times0+2^{-3}\times1+2^{-4}\times1+2^{-5}\times0+2^{-6}\times1+\cdots\\-&)&x&=&0+2^{-1}\times1+2^{-2}\times0+2^{-3}\times1+2^{-4}\times1+2^{-5}\times0+2^{-6}\times1+\cdots\\ \hline&&7x&=&5\end{arrary}$
よって, $x=\dfrac57$
$\dfrac57\cdots$ (答)