高校数学：3つの相加相乗平均と4つの相加相乗平均

こんにちは。相城です。久しぶりの投稿です。今回は大学入試でもよく登場する。3つの相加相乗平均と4つの相加相乗平均の証明を書いておきます。4つはあまり見ないかもです。それではどうぞ。

3つの相加相乗平均

3つの相加相乗平均の関係式は以下のようなものです。

3つの相加相乗平均

3つの正の整数 $a$ , $b$ , $c$ について,
$\dfrac{a+b+c}{3}\geqq \sqrt[3]{abc}\cdots\maru1$

【証明】
$A>0,\, B>0,\, C>0$ とするとき，
$A^3+B^3+C^3-3ABC$ を考える。
$A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)$
であり， $A+B+C>0\cdots\maru2$
$\begin{array}{lll}A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA&=&\dfrac12(2A^2+2B^2+2C^2-2AB-2BC-2CA)\\&=&\dfrac12\left\{(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2\right\}\geqq0\cdots\maru3\end{array}$
等号成立は $A=B=C$ のとき。
$\maru2$ , $\maru3$ より，
$A^3+B^3+C^3-3ABC\geqq0$
したがって，
$A^3+B^3+C^3\geqq3ABC$
ここで, $A=\sqrt[3]{a}$ ， $B=\sqrt[3]{b}$ ， $C=\sqrt[3]{c}$ とすると，
$a+b+c\geqq3\sqrt[3]{abc}$ となり， $\maru1$ が得られます。

4つの相加相乗平均

4つの相加相乗平均の関係は以下のようなものです。

4つの相加相乗平均

4つの正の数 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ について，
$\dfrac{a+b+c+d}{4}\geqq\sqrt[4]{abcd}\cdots\maru4$

【証明】
2つの正の数 $a$ , $\, b$ について，
$\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$
が成り立つので，4つの正の数 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ について，
$\begin{array}{lll}\dfrac{a+b+c+d}{4}&=&\dfrac12\left(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2}\right)\\&\geqq&\dfrac12\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\\&\geqq&\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}\end{array}$
したがって，
$\dfrac{a+b+c+d}{4}\geqq\sqrt[4]{abcd}$
となり， $\maru4$ が得られた。

3つの相加相乗平均

4つの相加相乗平均

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