高校数学：統計的推測：標本平均の平均と分散，標準偏差

こんにちは。標本平均の平均と分散，標準偏差について少し書いておきます。

標本平均は母平均と一致する！

標本平均の平均を $E(\overline{X})$ ，母平均を $\mu$ とすると，以下の式が成り立つ。
$E(\overline{X})=\mu$
【証明】
標本数を $n$ とすると，
$\begin{array}{lll}E(\overline{X})&=&E\left(\dfrac{X_1+X_2+X_3+\cdots+X_n}{n}\right)\\&=&\dfrac{E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+\cdots+E(X_n)}{n}\\&=&\dfrac{\mu+\mu+\mu+\cdots+\mu}{n}\\&=&\dfrac{n\mu}{n}\\&=&\mu\end{array}$
母集団から1回無作為抽出して得る確率変数は，母集団の出現割合に従って値をとるので，確率分布は母集団の分布と同じです。したがって， $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\cdots=E(X_n)=\mu$ となります。

標本平均の分散は1/n倍になる

標本平均の分散を $V(\overline{X})$ ，母分散を $\sigma^2$ として求めると，以下の式が成り立つ。
$V(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}$
【証明】
$\begin{array}{lll}V(\overline{X})&=&V\left(\dfrac{X_1+X_2+X_3+\cdots+X_n}{n}\right)\\&=&\dfrac{V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)+\cdots+V(X_n)}{n^2}\\&=&\dfrac{\sigma^2+\sigma^2+\sigma^2+\cdots+\sigma^2}{n^2}\\&=&\dfrac{n\sigma^2}{n^2}\\&=&\dfrac{\sigma^2}{n}\end{array}$
母集団から1回無作為抽出して得る確率変数は，母集団の出現割合に従って値をとるので，確率分布は母集団の分布と同じです。したがって， $V(X_1)=V(X_2)=V(X_3)=\cdots=V(X_n)=\sigma^2$ となります。