TikZ：高校数学：数II微分：3次関数の符号決定問題

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こんにちは。定期テスト対策問題です。

問題

3次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ のグラフが下図のようになるとき， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ の符号をそれぞれ求めよ。ただし，図中の黒丸は極値をとる点を表している。

解答・解説

【解答】
$a$ ：負
$b$ ：負
$c$ ：負
$d$ ：正
【解説】
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。
$f(0)=d$ ， $d$ は $y$ 軸との交点なので， $d>0$
グラフが右下がりなので $a<0$
$f'(x)=3ax^2+2bx+c\cdots\maru1$
$c$ は $f'(0)$ の値であることに注目すると， $a<0$ よりグラフは上に凸で，極値をとる $x$ の値がともに負なので， $f(0)<0$ 。つまり， $c<0$
$\maru1$ を平方完成したとき，軸は $x=-\dfrac{b}{3a}$ となる。極値をとる $x$ の値がともに負であるから軸も負。したがって， $a<0$ より $b<0$
以上より， $a<0$ ， $b<0$ ， $c<0$ ， $d>0$ となる。

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