TikZ：高校数学：数II微分：3次関数の最大値(定義域片方動く)

こんにちは。定期テスト対策です。定期テストでも問題の最後の方に出てきそうな問題です。

問題

次の問いに答えよ。
(1) 関数 $f(x)=x(x-3)^2$ の極値を求め，そのグラフをかけ。
(2) $a>0$ とする。関数 $f(x)=x(x-3)^2$ の $0\leqq x\leqq a$ における最大値を求めよ。

解答・解説

【解答・解説】
(1)
$f(x)=x^3-6x^2+9x$
$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$
増減表をかくと，
$\begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x&\cdots&1&\cdots&3&\cdots\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow&4&\searrow&0&\nearrow\\ \hline \end{array}$
極値は $x=1$ のとき極大値4， $x=3$ のとき極小値0をとる $\cdots$ (答)
グラフは下図(答)

(2)
$a\leqq 1$ では，グラフは右上がりのなので， $x=a$ のとき最大値。よって，最大値は $f(a)=a^3-6a^2+9a$
$a>1$ では極大値の4が最大値になるが， $f(x)=4$ となる $x$ の値はグラフから2つある。
$x^3-6x^2+9x=4$ とおいて， $x$ の値を求めると， $(x-1)^2(x-4)=0$ となるので， $f(x)=4$ となるもう一点は $x=4$ したがって， $1<a\leqq 4$ では最大値は4。
$a>4$ では $f(x)>4$ で，グラフは右上がりなので，自動的に定義域の右端が最大値となる。したがって，最大値は $f(a)=a^3-6a^2+9a$
以上より，
$a\leqq1$ のとき，最大値 $a^3-6a^2+9a$
$1<a\leqq 4$ のとき，最大値4
$a>4$ のとき，最大値 $a^3-6a^2+9a$
となる。

問題

解答・解説

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