こんにちは。相城です。さて、今回はTikZの練習に福島県の角度の問題をチョイス。図1は普通の平面の座標をつかって作図しました。図2は極座標を用いたのですが、
接点が微妙にずれてる気がするんですけどね?←実は計算間違いでした。また、点Dを通る円を描いても何か交点がおかしなところに来ちゃって・・・今一つ挙動がおかしい?(多分私の力量不足)です。では問題です。
下の図1のように、円周上の3点A、B、Cを頂点とする△ABCがありAを通る直線と辺BCは平行である。ただし、AB
BCである。また、
の二等分線と辺AB、
との交点をそれぞれD、Eとし、線分CE上にCD
EFとなる点FをとりAと結ぶ。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) となることを証明しなさい。
(2) 2点B、Cの位置によって、点Fの位置が変わる。下の図2のように、Fが円周上にあるとき、の大きさを求めなさい。
図1
図2
![](https://mathtext.info/blog/wp-content/uploads/2020/02/1yohaku.png)
答え
(1)
△ACDと△AEFで、
仮定より
CD=EF・・・①
CEは∠ACBの二等分線でAE//BCなので
錯角が等しいので
∠ACD=∠AEF・・・②
であるから△ACEは二等辺三角形なので
AC=AE・・・③
①、②、③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△AEF
よってAD=AFであるから△ADFも二等辺三角形なので、
∠AFD=∠ADF
(2)
△ABCは二等辺三角形(接点Aを通る直径は弦BCを垂直に二等分する)
∠ACD=∠BCD=
とおくと円周角の定理などから
△ABCの内角は
となる。
なので
![Rendered by QuickLaTeX.com x=36^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb69b01aa9cb483d12af60ac1b06d63e_l3.png)
∠ABC
なので
∠ABC![Rendered by QuickLaTeX.com =72^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e96879e6a933148bf1bbff606f644fd0_l3.png)
△ACDと△AEFで、
仮定より
CD=EF・・・①
CEは∠ACBの二等分線でAE//BCなので
錯角が等しいので
∠ACD=∠AEF・・・②
であるから△ACEは二等辺三角形なので
AC=AE・・・③
①、②、③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△AEF
よってAD=AFであるから△ADFも二等辺三角形なので、
∠AFD=∠ADF
(2)
△ABCは二等辺三角形(接点Aを通る直径は弦BCを垂直に二等分する)
∠ACD=∠BCD=
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
△ABCの内角は
![Rendered by QuickLaTeX.com 5x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd05b578b3c32cbceaf058edf7a8c1c5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 5x=180^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54a9add56dae799c1024b54191c6f2bf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=36^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb69b01aa9cb483d12af60ac1b06d63e_l3.png)
∠ABC
![Rendered by QuickLaTeX.com =2x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05773241ed0160cf27d37af6ce795b5e_l3.png)
∠ABC
![Rendered by QuickLaTeX.com =72^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e96879e6a933148bf1bbff606f644fd0_l3.png)