整数問題・整数解を求める①

2020年2月11日2022年12月20日

こんにちは。相城です。最近整数問題ばっかりですが, これも勉強のためです。それではいきましょう。

(1) $5x+2y=1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つけよ。
(2) $5x+2y=1$ を満たすすべての整数解を求めよ。
(3) $7x-3y=1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つけよ。
(4) $7x-3y=1$ を満たすすべての整数解を求めよ。

答え

(1) $(x, y)=(1, -2)$
(2) $5x+2y=1$ と $5\cdot1+2\cdot(-2)=1$ を筆算で引き算すると,
$5(x-1)+2(y+2)=0$ となる。5と2は互いに素だから,
$x-1=2k,\ y+2=-5k$ ( $k$ は整数)とおける。よって求める整数解は
$x=2k+1,\ y=-5k-2$ ( $k$ は整数)
(3) $(x, y)=(1, 2)$
(4) $7x-3y=1$ と $7\cdot1-3\cdot2=1$ を筆算で引き算すると,
$7(x-1)-3(y-2)=0$ となる。7と3は互いに素だから,
$x-1=3k,\ y-2=7k$ ( $k$ は整数)とおける。よって求める整数解は,
$x=3k+1,\ y=7k+2$ ( $k$ は整数)

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