こんにちは。相城です。今回は三角形の内接円の半径の求め方を書いておきます。
3辺の長さが,
,
で,
である三角形ABCに内接する円の半径を求めなさい。
内接円の半径をとすると,
は次の図のように, 各辺に垂直(接線と接点を通る円の半径のつくる角は
)になります。
方針
上の図の
(赤の線分)を求めるのに, △ABCの面積を求めます。
次に, △ABCの面積は△IAB, △IBC, △ICAの面積の和としても求められます。このとき,
は△IAB, △IBC, △ICAの高さになっているので, この3つの三角形の面積を
を用いて表し,
△IAB
△IBC
△ICA
△ABC
として方程式をつくり,
を求めます。
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次に, △ABCの面積は△IAB, △IBC, △ICAの面積の和としても求められます。このとき,
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△IAB
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として方程式をつくり,
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【解答例】
△ABCの面積は
ここで
△IAB
△IBC
△ICA△IAB
△IBC
△ICA
なので,
よって, 内接円の半径は
このとき, 今回は分かりやすいように, 3つの三角形(△IAB, △IBC, △ICA)を分けて求めましたが, 理解が深まると, 3つの三角形(△IAB, △IBC, △ICA)の和は次の式で得られます。・・・(覚えておくと便利)
今回の問題であれば
計算が少し楽ですね。
流れをつかんでおこう
- 円に外接する三角形の面積を求める。
- 内接する円の半径を
(文字)として, 内心と三角形の頂点を結んでできる3つの三角形の和を
(文字)で表す。
, つまり,
として
を求める。
3辺に未知数の辺があるとき
円に外接する三角形に長さがまだわかっていない辺を含むときは, 余弦定理などで求めてから, この解法に持ち込むといいでしょう。