こんにちは。今回は普通の四角形の面積に関してです。4辺と1つの内角が分かっているときを書いておきます。
例題をやってみよう
AB5, BC
6, CD
3, DA
4,
の四角形ABCDがあります。このとき, 次のものを求めよ。
(1) の値
(2) BDの長さ
(3) 四角形ABCDの面積
【解説】
(1)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos A](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe6808131f550c76f10976b7f0191345_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin^2 A+\cos^2 A=1](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5fd7536de6aa60b9cad3f8b9779f8792_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin^2 A+\left(\dfrac{7}{20}\right)^2=1](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4c4289113ff19123b938ceaaf6580c6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin^2 A=1-\dfrac{49}{20^2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d9fc2bf02a773e58eed6f9a2d474b94_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\dfrac{351}{20^2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e6eeece5d25f2464560401484a20433_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin A>0](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-834c93eb0b03fe00c256919e34ebf453_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin A=\dfrac{3\sqrt{19}}{20}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bfb72d38ad0baac9293bf6c41a98f7a_l3.png)
(2) △ABDで余弦定理を用いると,
BD
![Rendered by QuickLaTeX.com ^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cdot\cos A](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0453bf6fad87db4838a0edbeabcf9431_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =25+16-2\cdot5\cdot4\cdot\dfrac{7}{20}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d53b8bc425be64c6cd4c453ccfca414_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =27](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9106b6472af7a7bed97175807aee011c_l3.png)
BD
![Rendered by QuickLaTeX.com >0](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56f29821634922a81b00cff97623085d_l3.png)
BD
![Rendered by QuickLaTeX.com =3\sqrt3](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3083de2939208a5eb52ed7a4dcb014bf_l3.png)
(3) 四角形ABCD
![Rendered by QuickLaTeX.com (S)=](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f96c2a8e09dc03478d2ffc2de9cfa6f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (T)+](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f88dafcc950122ba43152201a7dce6e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (U)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-484ce4eff676e9e929db38d92e32cd42_l3.png)
△ABDの面積
![Rendered by QuickLaTeX.com T](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-397aa3fb2e5a10de5b175ce46739b858_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com T=\dfrac12\cdot5\cdot4\cdot\sin A](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe4cbcd37470e21502a94bc202a8f7bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\dfrac12\cdot5\cdot4\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{20}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96d36cebdb13c1883d9c9167207d71b8_l3.png)
より,
![Rendered by QuickLaTeX.com T=\dfrac{3\sqrt{19}}{2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6ae6ae71f076679bac04df03697df53_l3.png)
△BCDは余弦定理で
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos C](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-234f78b1b1111caef381bf3f9e006e78_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos C=\dfrac{6^2+3^2-(3\sqrt3)^2}{2\cdot6\cdot3}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b491ffdfe37827353aef06057b82a0e_l3.png)
から,
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos C=\dfrac12](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a4792db1dd8bd220e419a7ccbe36ca8_l3.png)
よって
![Rendered by QuickLaTeX.com C=60^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fdd260c8b3d94826b942d1351c12be5_l3.png)
したがって, △BCDの面積
![Rendered by QuickLaTeX.com U](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bf6e509a0329e0795a651782de40c29_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com U=\dfrac12\cdot6\cdot3\cdot\sin60^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d665b6bd6bb0fb51b1689c64c205539_l3.png)
より,
![Rendered by QuickLaTeX.com U=\dfrac{9\sqrt3}{2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d9b833663c02424bf03e749b5d92e72_l3.png)
以上より, 求める四角形ABCDの面積
![Rendered by QuickLaTeX.com S](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-552c3ef4b0a2dda2f9f5c305aa7e58eb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S=T+U](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5919d5fa9634b73a54cfb7b4583d8c4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S=\dfrac{3\sqrt{19}}{2}+\dfrac{9\sqrt3}{2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5fc3a727df7419f5ea40e0edba61bf1_l3.png)
となります。
流れをつかんでおこう
- 四角形の内角が1つ分かっているときは, その角と向かい合う対角線で四角形を三角形2つに分割して考える。誘導があればそれに乗っかるとよい。
- 1つの三角形の面積は, 分かっている角の
の値を求めることで, 2辺とその間の角で, 三角形の面積を求める。
- もう1つの三角形は前途した角で余弦定理を用いて対角線の長さを求め, 3辺が分かったところで, 余弦定理で,
の値を求め, それから,
を求めることで, 同様に2辺とその間の角に持ち込んで, 三角形の面積を求める。
- 四角形の面積は, 上の2つの三角形の面積の和として求める。