TikZ：高校数学：数III積分：サイクロイド曲線とその長さ

こんにちは。早速やってみましょう。

問題

【問題】 $a>0$ , $0\leqq\theta\leqq2\pi$ とし, 媒介変数表示
$\begin{cases}x=a\left(\theta-\sin\theta\right)\\y=a\left(1-\cos\theta\right)\end{cases}$
で表される曲線のグラフをかき, その長さを求めよ。

解答・解説

【解答例】
$x$ を $\theta$ で微分すると,
$\dfrac{dx}{d\theta}=a\left(1-\cos\theta\right)$ となる。
$0<\theta<2\pi$ の範囲では, $1-\cos\theta>0$ なので, $\dfrac{dx}{d\theta}>0$ である。
したがって, $\theta$ が増加すれば, $x$ の値も増加する。
$y$ を $\theta$ で微分すると,
$\dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta$ となる。
$0<\theta<2\pi$ において, $\sin\theta$ は, $0<\theta<\pi$ で $\sin\theta>0$ であるから, $\dfrac{dy}{d\theta}>0$ で, $\pi<\theta<2\pi$ で $\sin\theta<0$ であるから, $\dfrac{dy}{d\theta}<0$ である。
したがって, $y$ の値は, $0<\theta<\pi$ で増加し, $\pi<\theta<2\pi$ で減少する。
これをもとにグラフを描くと以下のようになる。

次に曲線の長さを求める。
求める長さを $L$ とすると,
$\dfrac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta)$ , $\dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta$ であるから,
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}\, d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\sqrt{2(1-\cos\theta)}\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}$
半角の公式より,
$1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ であるから, $\maru1$ は次のようになる。
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\sqrt{2\cdot2\sin^2\dfrac{\theta}{2}}\, d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}$
$0\leqq\theta\leqq2\pi$ より, $0\leqq\dfrac{\theta}{2}\leqq\pi$ なので, $\sin\dfrac{\theta}{2}>0$ である。
よって, $\maru2$ の絶対値はそのまま外せる。したがって, $\maru2$ を計算すると,
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\sin\dfrac{\theta}{2}\, d\theta\\&=&2a\left[-2\cos\dfrac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}\\&=&2a\left\{2-(-2)\right\}\\&=&8a\end{array}$
よって曲線の長さは $8a$ となります。
この曲線はサイクロイド曲線と言います。以下の関連記事に性質をまとめています。ご覧ください。

2023年5月3日TikZ：高校数学：数IIIグラフ：サイクロイド曲線とその性質

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問題

解答・解説

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