高校数学：場合の数：整数と重複組合せの問題(北里大)

こんにちは。重複組合せの問題です。頻出系ですので, しっかり押さえておいてください。

北里大学

【問題】方程式 $x+y+z=10$ を満たす $x, y, z$ の0以上の整数解の組の総数は【ア】組であり, 正の整数解の組の総数は【イ】組である。また, 方程式 $x+y+4z=10$ を満たす $x, y, z$ の0以上の整数解の組の総数は【ウ】組である。
【北里大】

解答・解説

【解答】
ア66, イ36, ウ21
【解説】
アは〇が10個, $x, y, z$ をしきる敷居板｜が2本あればいいので, 求める総数は,
$\dfrac{12!}{10!\cdot2!}=66$ 組
イは10個の〇から, $x, y, z$ にそれぞれ1個あげて, 7個の〇にして, 敷居板｜2枚で考えればいい。したがって, 求める総数は,
$\dfrac{9!}{7!\cdot2!}=36$ 組
ウは $z$ のとる値はたかだか, $z=0, 1, 2$ なので, それぞれの場合について, $x, y$ の組を考えればよい。
$z=0$ のとき, $x+y=10$ なので, $x, y$ の組は11組
$z=1$ のとき, $x+y=6$ なので, $x, y$ の組は7組
$z=2$ のとき, $x+y=2$ なので, $x, y$ の組は3組
以上より, 総数は $11+7+3=21$ 組

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北里大学

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