こんにちは。相城です。今回は排反と和事象の確率について書いておきます。
排反と独立
排反とはお互いに同時に起こらないことを指して言います。
例えば, 袋の中に赤, 白, 青の玉が1個ずつ入っていて, そこから玉を1個取り出すとき, 赤玉を取り出すことと, 青玉を取り出すことは同時に起こらないですよね。こういった事象を, 排反と言います。
独立とは, お互いに影響を与えないことを独立と言います。この場合だと玉を1個取り出すという試行は独立しているといいます。
つまり, 事象に使う言葉が排反で, 試行に使う言葉が独立だと認識していいでしょう。
排反事象の確率
排反事象の確率の計算
2つの事象
と事象
が互いに排反であるとき, ![Rendered by QuickLaTeX.com A\cap B=\phi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9d1b518184c391c1d3dae3235cd3527_l3.png)
事象
の起こる確率を
, 事象
が起こる確率を
とするとき,
事象
または, 事象
が起こる確率は,
![Rendered by QuickLaTeX.com P(A\cup B)=P(A)+P(B)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bd761e8870c19ee1ea910f832e5c428_l3.png)
で求められます。
このことは, 3つ以上の事象でも成り立ちます。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/01/haihanzu1.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-553e358dbaef79e91010ef4dd856f6db_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fcb68dce5bd7f0f4c2051ea81834052_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A\cap B=\phi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9d1b518184c391c1d3dae3235cd3527_l3.png)
事象
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-553e358dbaef79e91010ef4dd856f6db_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(A)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dafc4974262d84ea728e3f666e47ac1d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fcb68dce5bd7f0f4c2051ea81834052_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(B)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-508c625af7a370056737b9dc3fc7061a_l3.png)
事象
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-553e358dbaef79e91010ef4dd856f6db_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fcb68dce5bd7f0f4c2051ea81834052_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(A\cup B)=P(A)+P(B)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bd761e8870c19ee1ea910f832e5c428_l3.png)
で求められます。
このことは, 3つ以上の事象でも成り立ちます。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/01/haihanzu1.png)
例題を見てみよう
【例題】袋Aには赤玉4個, 青玉3個, 袋Bには赤玉3個, 青玉2個がそれぞれ入っている。この袋から1個ずつ玉を取り出すとき, 同じ色の玉を取り出す確率を求めよ。
【解法】同じ色の玉を取り出すということは, 赤で同じのときと, 青で同じの2通りを考える。この2つの事象は互いに排反であるから, 求める確率は,
=(2個とも赤である確率)+(2個とも青である確率)
玉を取り出すという試行は独立であるため,
①袋Aから赤玉を取り, 袋Bからも赤玉を取り出す確率は,
②袋Aから青玉を取り, 袋Bからも青玉を取りだす確率は,
①, ②の事象は互いに排反であるので, 求める確率は