高校数学：累乗根の大小関係2(底が異なる)

こんにちは。今回は累乗根の大小関係2ということで書いておきます。今回は底が異なる場合の大小関係について書いておきます。例題を見ながら行きましょう。底がそろう場合はこちらを参照ください。

底が異なる数の大小

【例題】 $2^{15}, 7^5, 3^{10}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】底が異なるときは, 指数部をそろえて考えます。
この場合, 最低の指数の数は5なので, すべて5乗にそろえます。
すると,
$2^{15}=\left(2^3\right)^5=8^5$
$3^{10}=\left(3^2\right)^5=9^5$
よって,
$7^5<8^5<9^5$
つまり, $7^5<2^{15}<3^{10}\cdots$ (答)

底の異なる数の大小関係

累乗の指数部を最小値の指数にそろえてから比べる。

底が異なる累乗根の大小

【例題】 $\sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[12]{21}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】 $\sqrt[3]{2}=2^{\frac13}, \sqrt[4]{3}=3^{\frac14}, \sqrt[12]{21}=21^{\frac{1}{12}}$ とし,
指数部が整数になるように, 指数部に3, 4, 12の最小公倍数の12をかけます(すべて12乗して考える)。
すると,
$2^{\frac13\cdot12}=2^4=16$
$3^{\frac14\cdot12}=3^3=27$
$21^{\frac{1}{12}\cdot12}=21^1=21$
となり, $16<21<27$ であるから,
$2^{\frac13}<21^{\frac{1}{12}}<3^{\frac14}$
ゆえに,
$\sqrt[3]{2}<\sqrt[12]{21}<\sqrt[4]{3}\cdots$ (答)