TikZ:高校数学:ベクトルと内分点と比

こんにちは。今回はベクトルと内分点ということで, 比較的重要な例題をやっておきます。それでは見ていきましょう。

ベクトルと内分点と比の例題

【例】△OABにおいて, 辺OAを3 : 2に内分する点をC, 線分BCを1 : 2に内分する点をDとし, 直線ODと辺ABの交点をEとする。このとき, \overrightarrow{\text{OE}}\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}で表し, OD : DEを求めよ。
【解法】OD : DEだけならメネラウスの定理を使えば出せますが, それは今回は無しということでいきます。

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CD : DB=1 : 2なので,
\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac23\overrightarrow{\text{OC}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}
\overrightarrow{\text{OC}}=\dfrac35\overrightarrow{\text{OA}}だから, 上の式に代入すると,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OD}}&=&\dfrac23\cdot\dfrac35\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\\&=&\dfrac15\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac23\overrightarrow{\text{OB}}\end{array}
よって,
\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\cdots(答)
ここで, \overrightarrow{\text{OE}}=k\overrightarrow{\text{OD}}であるから,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OE}}&=&k\left(\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\right)\\&=&\dfrac25k\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13k\overrightarrow{\text{OB}}\end{array}
Eは辺AB上にあるので,
\dfrac25k+\dfrac13k=1が成り立つ。
これを解いて, k=\dfrac{15}{11}
よって, \overrightarrow{\text{OE}}=\dfrac{15}{11}\overrightarrow{\text{OD}}
したがって, OD : DE=11 : 4\cdots(答)
【別解】
\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}
を次のように変形することもできる。
\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OD}}&=&\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\\&=&\dfrac{6}{15}\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac{5}{15}\overrightarrow{\text{OB}}\\&=&\dfrac{6+5}{15}\left(\dfrac{6\overrightarrow{\text{OA}}+5\overrightarrow{\text{OB}}}{11}\right)\\&=&\dfrac{11}{15}\left(\underline{\dfrac{6\overrightarrow{\text{OA}}+5\overrightarrow{\text{OB}}}{11}}\right)\end{array}
下線部は\overrightarrow{\text{OE}}のことなので,
\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac{11}{15}\overrightarrow{\text{OE}}
よって, OD : DE=11 : 4\cdots(答)

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