高校数学：数III極限・ガウス記号と極限

こんにちは。今回はガウス記号と極限について書いておきます。最後に早稲田の問題置いときますので, チャレンジする方はやってみてください。

ガウス記号とは

ガウス記号は[　]で表され, 意味は[　]内の数を越えない最大の整数という意味である。
つまり,
$[\, 2\, ]=2$ , $[\, 3.4\, ]=3$ , $[\, -3.4\, ]=-4$
という具合になる。

ガウス記号の性質

ガウス記号については, 次の事が言える。
$\maru1$ 　整数 $k$ が, $k\leqq x<k+1$ を満たすとき, $[\, x\, ]=k$ となる。
$\maru2$ 　 $[\, x\, ]\leqq x<[\, x\, ]+1$
$\maru3$ 　 $\maru2$ を変形すると, $x-1<[\, x\, ]\leqq x$ がいえる。

問題を見てみよう

【例】実数 $x$ に対して, $x$ を越えない最大の整数を $[\, x\, ]$ で表す。このとき,
$\displaystyle\lim_{x\to2+0}\dfrac{[\,x\,]}{3}$ , $\displaystyle\lim_{x\to2-0}\dfrac{[\, x\,]}{3}$
を求めよ。

【解答例】
$x\to2+0$ ということは, $2<x<3$ としてよいので, このとき, $[\,x\,]=2$
$x\to2-0$ ということは, $1<x<2$ としてよいので, このとき, $[\,x\,]=1$
これをふまえて極値を調べると,
$\displaystyle\lim_{x\to2+0}\dfrac{[\,x\,]}{3}=\dfrac23$
$\displaystyle\lim_{x\to2-0}\dfrac{[\,x\,]}{3}=\dfrac13$

【例】極限 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\,x\,]}{x}$ を調べよ。ただし, $[\, x\,]$ は $x$ を越えない最大の整数とする。

【解答例】すべての実数 $x$ に対して,
$[\, x\,]\leqq x<[\, x\, ]+1\cdots\maru1$ であるから, $x<[\, x\, ]+1$ より, $x-1<[\, x\,]$ でこれと, $\maru1$ の $[\, x\,]\leqq x$ と合わせて, $x-1<[\, x\, ]\leqq x\cdots\maru2$
$x\to\infty$ なので, $x>0$ としてよい。
このとき, $\maru2$ の辺々を $x$ で割ると,
$1-\dfrac1x<\dfrac{[\, x\,]}{x}\leqq 1$
ここで, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac1x\right)=1$
よって, はさみうちの原理より,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\,x\,]}{x}=1$