TikZ：高校数学：数III積分・定積分と体積(なぜ体積が求まるのか)

こんにちは。今回は定積分と体積について書いておきます。

定積分と体積

以下のように $x$ 軸上の点 $a, b$ を通り, $x$ 軸に垂直な平面で切った立体がある。 $a\leqq x\leqq b$ として, $x$ 軸上の点 $x$ を通り垂直な平面でこの立体を切ったときの断面積を $S(x)$ とする。また, 区間[ $a, x$ ]の間の立体の体積を $V(x)$ とする。

以下, 下図参照ください。
$x$ の増加量 $\Delta x$ に対する $V(x)$ の増加量は,
$\Delta V=V(x+\Delta x)-V(x)$
で表され, $\Delta x$ が極めて小さい正の数のとき, $x$ と $x+\Delta x$ の間に $t$ を適当にとれば,
$\Delta V=S(t)\Delta x$
とできる。
ここで, $\Delta x\to 0$ のとき, $t\to x$ であるから, $\Delta V$ を $\Delta x$ で割ると,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta V}{\Delta x}&=&\underline{\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}}\cdots\maru1\\&=&\displaystyle\lim_{t\to x}\dfrac{S(t)\Delta x}{\Delta x}\\&=&\displaystyle\lim_{t\to x}S(t)=S(x)\end{array}$
となり, $\maru1$ の下線部は微分の定義より $V'(x)$ である。
したがって, $V'(x)=S(x)$ が得られ, これを積分すると, 体積 $V$ は,
$V=V(x)+C$ ( $C$ は積分定数)となり, 区間[ $a,\, x$ ]では, $x=a$ のとき, $V=0$ であるから, $V(a)+C=0$ となり, $C=-V(a)$ ,
一般に積分区間は $x=b$ までなので, 立体の体積 $V$ は,
$V=V(b)-V(a)$
すなわち,
$V=\displaystyle\int^b_a S(x)\,dx$
となる。