高校数学：確率：確率の最大値の問題

2023年3月2日

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こんにちは。実力テストとかでよく見かける問題ですかね？それではどうぞ。

問題

1個のさいころを13回続けて投げて, 6の目が $k$ 回出る確率を $P_k$ とする。このとき, 次の(1), (2)の問いに答えよ。ただし, $0\leqq k\leqq 13$ とする。
(1) $P_k,\ P_{k+1}$ を $k$ の式で表せ。
(2) $P\k$ が最大である $k$ の値を求めよ。

解答

【略解】
(1)
$P_k={}_{13} \mathrm{C}_k\left(\dfrac16\right)^k\left(\dfrac56\right)^{13-k}$
$P_{k+1}={}_{13} \mathrm{C}_{k+1}\left(\dfrac16\right)^{k+1}\left(\dfrac56\right)^{12-k}$
(2)
$\dfrac{P_{k+1}}{P_k}=\dfrac{13-k}{5(k+1)}$
となり, $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}\geqq1$ , $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}<1$ を考えると,
$k\leqq1$ のとき, $P_{k+1}>P_k$ , $k\geqq2$ のとき, $P_{k+1}<P_k$ となる。
よって, $P_0<P_1<P_2>P_3>P_4\cdots>P_{13}$
したがって, $k=2$ で最大となる。
詳細解答pdf

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