高校数学：加法定理：加法定理の応用(広島大文系)

こんにちは。標準レベルかと思いますが, しっかりと取り組んでいきましょう。

2012広島大

【問題】図のような3辺の長さをもつ三角形ABCがある。
次の問いに答えよ。

(1) $45\Deg<\kaku{B}<60\Deg$ を証明せよ。
(2) $\kaku{A}=2\kaku{C}$ を証明せよ。
(3) $40\Deg<\kaku{C}<45\Deg$ を証明せよ。
【広島大】

解答例

【解答例】
(1) △ABCにおいて余弦定理を用いると,
$\cos B=\dfrac{4^2+6^2-5^2}{2\cdot4\cdot6}=\dfrac{9}{16}$
$\cos 45\Deg=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\cos 60\Deg=\dfrac12$
$\cos60\Deg<\cos45\Deg$
ここで,
$\dfrac12<\dfrac{9}{16}$
$\dfrac{9}{16}\left(\dfrac{\sqrt{81}}{16}\right)<\dfrac{8\sqrt2}{16}\left(\dfrac{\sqrt{128}}{16}\right)$
より,
$\cos60\Deg<\cos B<\cos45\Deg$ だから, $0\Deg<\kaku{B}<180\Deg$ とあわせて,
$45\Deg < \kaku{B} < 60\Deg$
(2) △ABCで余弦定理を用いると,
$\cos A=\dfrac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot5\cdot4}=\dfrac18$
$\cos B=\dfrac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot6\cdot5}=\dfrac34$
$\cos2C=2\cos^2C-1=2\left(\dfrac34\right)^2-1=\dfrac18$
このことから,
$\cos A=\cos2C$
$\kaku{C}$ の対辺は最小辺であるから, $\kaku{C}$ は大きくても $\kaku{B}$ よりは小さい。
また, $\kaku{A}$ は $180\Deg$ より小さい正の値であることから,
$\kaku{A}=2\kaku{C}$
がいえる。
(3)
(2)の結果から, $\kaku{A}+\kaku{C}=3\kaku{C}$
$\kaku{B}=180-(\kaku{A}+\kaku{C})=180\Deg-3\kaku{C}$ であり,
(1)から, $45\Deg<\kaku{B}<60\Deg$ であるから,
$45\Deg<180\Deg-3\kaku{C}<60\Deg$
$120\Deg<3\kaku{C}<135\Deg$
$40\Deg<\kaku{C}<45\Deg$
である。

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解答例

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