高校数学：2次曲線：楕円と双曲線の接線(香川大)

2023年7月30日2023年8月10日

こんにちは。早速やっていきましょう。

2012香川大

【問題】楕円 $C_1 : \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ および双曲線 $C_2 : \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ について, 次の問いに答えよ。ただし, $a>0, b>0$ とする。
(1) 楕円 $C_1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は,
$\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
であることを示せ。
(2) 楕円 $C_1$ の外部の点 $( p, q )$ を通る $C_1$ の2本の接線の接点をそれぞれ $\mathrm{A}_1$ , $\mathrm{A}_2$ とする。直線 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ の方程式は
$\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$
であることを示せ。
(3) $( p, q )$ が双曲線 $C_2$ 上の点であるとき, 直線 $\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$ は $C_2$ に接することを示せ。
【香川大】

解答pdf

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