こんにちは。早速やってみましょう。
【問題】,
とし, 媒介変数表示
で表される曲線のグラフをかき, その長さを求めよ。
【解答例】を
で微分すると,
となる。
の範囲では,
なので,
である。
したがって, が増加すれば,
の値も増加する。
を
で微分すると,
となる。
において,
は,
で
であるから,
で,
で
であるから,
である。
したがって, の値は,
で増加し,
で減少する。
これをもとにグラフを描くと以下のようになる。
次に曲線の長さを求める。
求める長さを
![Rendered by QuickLaTeX.com L](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69e51d7846579e90ac43e0823baa8e1a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3ff23c07226584702e38f84b1ba56a4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f5f55864b1b9a307d3eeb82084650b4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}\, d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\sqrt{2(1-\cos\theta)}\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f2cb502edcf3a1b913118572c3c48ab_l3.png)
半角の公式より,
![Rendered by QuickLaTeX.com 1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32bdb232b82683f3f1420eb233cf6713_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8b8ec9c0d15342374d474f3407d687d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\sqrt{2\cdot2\sin^2\dfrac{\theta}{2}}\, d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63dc3b46c7f9b984a9f322286d08dc72_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0\leqq\theta\leqq2\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14832f9fbbd456b08fc853006d5fb19a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0\leqq\dfrac{\theta}{2}\leqq\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-04b0d7f4c545d5aec446ebd1337f8eab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin\dfrac{\theta}{2}>0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-623baa65db511edad33ca1b0a56a66ff_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b55f3d993b1bbf2d3a2ca1e85ea19bd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b55f3d993b1bbf2d3a2ca1e85ea19bd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\sin\dfrac{\theta}{2}\, d\theta\\&=&2a\left[-2\cos\dfrac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}\\&=&2a\left\{2-(-2)\right\}\\&=&8a\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcfb17ff0a4a9867536218ad606bba89_l3.png)
よって曲線の長さは
![Rendered by QuickLaTeX.com 8a](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df70d5a350fdde6fc61b47e3ec7f8373_l3.png)
この曲線はサイクロイド曲線と言います。以下の関連記事に性質をまとめています。ご覧ください。
![](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2023/05/kchuksaikuroidoy161-160x92.png)