中学数学：研究：変化の割合についての考察

こんにちは。今回は変化の割合について考察してみようと思います。

一次関数の変化の割合

変化の割合は2点間の傾きを表す。この割合がどこをとっても一定の場合, グラフは直線を描く。
一次関数 $y=ax+b(a\neq0,b=定数)$ とし, $x$ の変域を $p\leqq x\leqq q(p\neq q)$ として, 変化の割合が一定であることを示す。
$x=p$ のとき, $y=ap+b\to \text{P}(p,ap+b)$
$x=q$ のとき, $y=aq+b\to \text{Q}(q,aq+b)$
この2点 $\text{P, Q}$ の傾きは, を使って, 次のようになる。
$\dfrac{(aq+b)-(ap+b)}{q-p}=\dfrac{a\cancel{(q-p)}}{\cancel{(q-p)}}=a\cdots\maru{1}$
$\maru{1}$ は $x$ の変域 $p, q$ に関係なく一定でその値は $a$ になる。従って一次関数 $y=ax+b$ は直線になる。

y=ax²の変化の割合

二次関数の変化の割合を次の調べてみる。
二次関数を $y=ax^2(a\neq 0)$ として, 先と同様, $x$ の変域を $p\leqq x\leqq q(p\neq q)$ とする。
$x=p$ のとき, $y=ap^2\to \text{P}(p, ap^2)$
$x=q$ のとき, $y=aq^2\to \text{Q}(q, aq^2)$
この2点間の傾きは, 先と同様にすると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{aq^2-ap^2}{q-p}&=&\dfrac{a(q^2-p^2)}{q-p}\\&=&\dfrac{a(q+p)\cancel{(q-p)}}{\cancel{q-p}}\\&=&a(q+p)\cdots\maru{2}\end{array}$
$\maru{2}$ は $x$ の変域の値 $p, q$ によって変わる値で, 常に一定ではない。常に一定でないということは, グラフは曲線を描く, これが放物線になるのである。図1に関数 $y=x^2$ で, $x$ が $-3\leqq x\leqq 3$ の整数をとって直線で結んでみた。また $(1, 1)$ , $(-2, 4)$ の傾き, $(0, 0)$ , $(3, 9)$ の傾きを線分で表してみた。

反比例の変化の割合

最後に変化の割合を $y=\dfrac{a}{x}(a\neq 0,x>0)$ で調べてみる。 $x$ の変域は同じく $p\leqq x\leqq q(p\neq q)$ とする。
$x=p$ のとき, $y=\dfrac{a}{p}\to \text{P}\left(p,\dfrac{a}{p}\right)$
$x=q$ のとき, $y=\dfrac{a}{q}\to \text{Q}\left(q,\dfrac{a}{q}\right)$
同様にして,
$\begin{array}{lll}\dfrac{\dfrac{a}{q}-\dfrac{a}{p}}{q-p}&=&\dfrac{\dfrac{ap-aq}{pq}}{q-p}\\&=&\dfrac{ap-aq}{pq(q-p)}\\&=&-\dfrac{a\cancel{(q-p)}}{pq\cancel{(q-p)}}\\&=&-\dfrac{a}{pq}\end{array}$
これも二次関数同様, $x$ の変域の値 $p, q$ によって変わる値で, 常に一定でない。このことは反比例の式もまた曲線を描くことを意味する。これが双曲線といわれる曲線である。
図2に反比例 $y=\dfrac{12}{x}$ の正の部分を $x, y$ ともに自然数の座標をとってそれを直線で結んでみた。また, $(1, 12)$ , $(3, 4)$ の傾き, $(2, 6)$ , $(12, 1)$ の傾きを線分で表してみた。