高校数学：対数の性質を用いた計算

こんにちは。今回は対数の性質を用いた計算について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

対数の性質の確認

対数の性質とは以下のようなものです。

対数の性質

$a>0, b>0, c>0, M>0, N>0, a\neq1, c\neq1$ とすると,
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_a{a}=1$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\log_a{1}=0$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\log_a M^p=p\log_a M$ 　【 $p$ 乗⇔ $p$ 倍】
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ 　【積⇔和】
$\textcircled{\scriptsize 5}$ 　 $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$ 　【商⇔差】
$\textcircled{\scriptsize 6}$ 　 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ 　【底の変換公式】
特に $c=b$ なら, $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$
が成り立つ。

これらを用いて実際計算してみます。

例題を解いてみる

【例】次の計算をしなさい。
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_6{4}+\log_6{9}$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\log_3{5}-\log_3{15}$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\log_{10}5+\log_{10}160-3\log_{10}2$
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $\log_3{8}\cdot\log_4{3}$
$\textcircled{\scriptsize 5}$ 　 $\left(\log_3{125}+\log_{9}25\right)\left(\log_5{27}-\log_{25}3\right)$
【解答】
$\textcircled{\scriptsize 1}$
$\begin{array}{lll}\log_6{4}+\log_6{9}&=&\log_6{4\cdot9}\\&=&\log_6{36}\\&=&\log_6{6^2}\\&=&2\end{array}$
$\textcircled{\scriptsize 2}$
$\begin{array}{lll}\log_3{5}-\log_3{15}&=&\log_3\dfrac{5}{15}\\&=&\log_3\dfrac13\\&=&\log_3{3^{-1}}\\&=&-1\end{array}$
$\textcircled{\scriptsize 3}$
$\begin{array}{lll}\log_{10}5+\log_{10}160-3\log_{10}2&=&\log_{10}5+\log_{10}160-\log_{10}2^3\\&=&\log_{10}\dfrac{5\times160}{8}\\&=&\log_{10}100\\&=&\log_{10}10^2\\&=&2\end{array}$
$\textcircled{\scriptsize 4}$
$\begin{array}{lll}\log_{3}8\cdot\log_{4}3&=&\log_{3}2^3\cdot\dfrac{1}{\log_{3}4}\\&=&3\cancel{\log_{3}2}\cdot\dfrac{1}{2\cancel{\log_{3}2}}\\&=&\dfrac32\\\end{array}$
$\textcircled{\scriptsize 5}$
$\begin{array}{lll}\left(\log_3{125}+\log_{9}25\right)\left(\log_5{27}-\log_{25}3\right)&=&\left(\log_3{5^3}+\dfrac{\log_3{25}}{\log_3{9}}\right)\left(\dfrac{\log_3{27}}{\log_3{5}}-\dfrac{\log_3{3}}{\log_3{25}}\right)\\&=&\left(3\log_3{5}+\dfrac{\cancel{2}\log_3{5}}{\cancel{2}}\right)\left(\dfrac{3}{\log_3{5}}-\dfrac{1}{2\log_3{5}}\right)\\&=&4\cancel{\log_3{5}}\cdot\dfrac{5}{2\cancel{\log_3{5}}}\\&=&10\end{array}$

対数の性質の確認

例題を解いてみる

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