高校数学：帰納法：13の倍数であることの証明(信州大)

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こんにちは。ぱっと見, 数学的帰納法の問題ですね。早速いってみましょう。

2012信州大

【問題】 $n$ を自然数とするとき, $4^{2n-1}+3^{n+1}$ は13の倍数であることを示せ。
【信州大】

解答例

【解答例】
$n=1$ のとき,
$4+3^2=13$ で成り立つ。
$n=k$ のとき,
$4^{2k-1}+3^{k+1}=13m\,$ ( $m$ は自然数) $\cdots\maru1$
が成り立つと仮定すると,
$n=k+1$ のとき,
$\begin{array}{lll}&4^{2(k+1)-1}+3^{(k+1)+1}\\=&4^{2k+1}+3^{k+2}\\=&4^{2k+1}+3\cdot3^{k+1}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}$
$\maru1$ より,
$3^{k+1}=13m-4^{2k-1}$ なので, これを $\maru2$ に代入すると,
$\begin{array}{lll}\textcircled{\scriptsize 2}&=&4^{2k+1}+3(13m-4^{2k-1})\\&=&16\cdot4^{2k-1}+3\cdot13m-3\cdot4^{2k-1}\\&=&13\cdot4^{2k-1}+3\cdot13m\\&=&13(4^{2k-1}+3m)\end{array}$
となり, これは13の倍数である。
したがって, すべての自然数 $n$ について,
$4^{2n-1}+3^{n+1}$ は13の倍数である。

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