こんにちは。Short Time DFT(短時間フーリエ変換)についてです。
以下間違ってたらごめんなさいm(_)m。
Short time DFTは,瞬時スペクトラムの概念を導入することにより,
周波数分解能, 時間分解能をともに独立設定でき, 時間分解能を極限(サンプリング時刻)まで高めることができる。
時刻の瞬時ペクトラムは次のように与えられる。
ここでは瞬時スペクトラムを構成するインデックスの成分であり, Short time DFTによって次のように定義される。
但し, は入力信号, はWindow関数, で与えられる回転演算子である。 次に, スペクトラムから個の出力信号を合成するShort time IDFTを次のように定義する。
但し, はスペクトラムから合成される時刻の出力信号, で与えられる回転演算子である。 ここで, スペクトラムから合成される出力信号が, 瞬時スペクトラムのサンプリング時刻の入力信号と一致することを証明する。
をに代入すると
実際処理を行うときは上のは有限長であるので, の積和の順序は入れ替え可能である。
ここで,
したがって, 出力はのときのみ値をもち, このときは次のように与えられる。
ここで, Window関数に次の制約を設ける
このとき, 出力信号が, 時刻の入力信号と一致することがわかる。このように, 時刻の瞬時スペクトラムからShort time IDFTを用いて合成される出力信号が, サンプリング時刻のみであることが知れる。これはDFTとは異なる点である。
しかし, Short time DFTの完全系を満たすWindow関数は, 時刻において1であり, Windowの中心から時間(は0でない整数)において0を有すれば十分である(は未定義)。従って完全系を示すためのWindow関数は, 多数存在する。線型シフト不変のシステムの概念を加味すれば, Short time DFTは入力信号とインパルスとの畳み込み演算で与えられる。したがって, Short time DFTによって得られる瞬時スペクトラムは, インパルス応答によって完全に記述される。つまり, Short time DFTはAM変調波とWindow関数の線型フィルタリングで与えられる。このことからもWindow関数の周波数応答の特性いかんでは,
周波数解析, 周波数振幅解析, 位相解析に大きな影響を与えかねない。Short time DFTのWindow関数は大変重要であり, 上のWindow関数を満たす条件は完全系を示すだけのものでしかない。
以下にShort time DFTのWindow関数の1つである, ナイキスト関数を書いてみた。