高校数学：指数：定期テスト対策：指数関数の最大最小問題

2024年8月5日2024年8月18日

こんにちは。定期テスト対策です。それではいきましょう。

問題

【問題】関数 $y=8(2^x+2^{-x})-(4^x+4^{-x})-10$ について, 以下の問いに答えなさい。
(1) $2^x+2^{-x}=t$ とおくとき, $t$ の範囲を求めよ。
(2) $y$ を $t$ の式で表せ。
(3) $y$ の最大値, 最小値があれば求めよ。

解答・解説

【解答】
(1) $t\geqq0$ 等号成立は $x=0$ のとき。
(2) $y=-t^2+8t-8$
(3) $x=\log_{2}(2\pm\sqrt3)$ のとき, 最大値8, 最小値はなし。
【解説】
(1) $2^x>0$ , $2^{-x}>0$ より, 相加相乗平均の関係から
$2^x+2^{-x}\geqq2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2$
よって, $t\geqq2$ , 等号成立は,
$2^x=2^{-x}$ より $x=0$
(2) $2^x+2^{-x}=t$ の両辺を2条すると,
$(2^x+2^{-x})^2=t^2$
$4^x+2+4^{-x}=t^2$
$4^x+4^{-x}=t^2-2$
これより, 与式は次のように書き換えれる。
$y=8t-(t^2-2)-10$
よって,
$y=-t^2+8t-8$
(3) (2)の式を平方完成すると,
$y=-(t-4)^2+8$ $(t\geqq2)$
よって, $y$ の値は, $t=4$ のとき, 最大値8をとる。最小値はない。
$2^x+2^{-x}=4$ として, 両辺 $2^x$ をかけると,
$(2^x)^2-4\cdot2^x+1=0$
$2^x=p$ とおくと,
$p^2-4p+1=0$
$p=2\pm\sqrt3$
$2^x=2\pm\sqrt3$
$x=\log_{2}(2\pm\sqrt3)$
したがって, $y$ の値は, $x=\log_{2}(2\pm\sqrt3)$ のとき, 最大値8をとる。
最小値はない。

問題

解答・解説

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