高校数学：対数：定期テスト対策：何年後に5倍を超えるか

2024年8月4日

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こんにちは。定期テスト対策です。

問題

【問題】A市の人口は近年増加傾向にある。現在, A市の人口は前年の同時期の人口と比べて $8\%$ 増加している。毎年この比率で人口が増加するとした場合, 人口が現在の5倍を超えるのは少なくとも何年後か。答えは整数で求めよ。ただし, $\log_{10}2=0.3010$ , $\log_{10}3=0.4771$ とする。

解答・解説

【解答】21年後
【解説】
現在の人口を $p$ 人として, $n$ 年後の人口を $p$ を用いて表すと, $(1.08)^n p$ (人)となる。
これが, $5p$ を超えるので,
$(1.08)^n p>5p$
$n\log_{10}1.08>\log_{10}5$
$n\log_{10}\dfrac{2^2\times3^3}{10^2}>\log_{10}\dfrac{10}{2}$
$n(2\log_{10}2+3\log_{10}3-2)>1-\log_{10}2$
$n(2\times0.3010+3\times0.4771-2)>1-0.3010$
$0.0333n>0.6990$
$n>20.99\cdots$
$n$ は整数なので,
$n=21$
少なくとも21年後

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