高校数学：数列：分数の数列の和を求める

こんにちは。定期テスト対策です。

問題

次の和 $S$ を求めよ。
$S=1+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\cdots+\dfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}$

解答・解説

【解答】
$\dfrac{2n}{n+1}$
【解説】
$\begin{array}{lll}\dfrac{1}{1+2+3+\cdots+k}&=&\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^n k}\\&=&\dfrac{1}{\dfrac12n(n+1)}\\&=&\dfrac{2}{n(n+1)}\\&=&2\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)\end{array}$
より，
$\begin{array}{lll}S&=&2\left(\dfrac11-\dfrac12\right)+2\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+2\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\cdots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)\\&=&2\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\\&=&\dfrac{2n}{n+1}\end{array}$