高校数学：二重根号の外し方

こんにちは。今回は二重根号の外し方について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

二重根号の公式の確認

二重根号の公式

$a>0, b>0$
$\sqrt{\mathstrut(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}$
$\sqrt{\mathstrut(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{\mathstrut a}-\sqrt{\mathstrut b}\ (a>b)$

公式が使える形に持ち込むこと

【例①】二重根号 $\sqrt{10+2\sqrt{21}}$ をはずしなさい。
【解法】公式より, この場合和が10で積が21になる正の整数を考えればよい。
この条件を満たす組を考えるときは必ず積の方から考えて, 和を考えた方が効率が良い。理由は積で表せる正の整数の組が有限組であるからである。したがって, この場合, 条件を満たす数の組は7と3である。
したがって,
$\sqrt{\mathstrut10+2\sqrt{21}}=\sqrt{\mathstrut\left(\sqrt7+\sqrt3\right)^2}$ となるので,
$\sqrt7+\sqrt3$ という答えになる。
【例②】二重根号 $\sqrt{6-\sqrt{32}}$ をはずしなさい。
【解法】公式の形にするには $\sqrt{32}$ を変形して, $2\sqrt{8}$ としなくてはならない。
このとき, 与式は $\sqrt{6-2\sqrt8}$ となるので, 和が6で積が8の数の組を考える。積から考えて, 4と2を得る。
したがって, $\sqrt{\mathstrut6-2\sqrt8}=\sqrt{\mathstrut\left(\sqrt{4}-\sqrt{2}\right)^2}$ となるので,
$\sqrt4$ を簡単にして,
$2-\sqrt2$ という答えになる。
【例③】二重根号 $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ をはずしなさい。
【解法】この場合 $\sqrt5$ から2を作り出せないので, 分子分母に $\sqrt2$ をかけます。
つまり,
$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt2}$
分子に着目すると, $\sqrt{6-2\sqrt5}$ は和が6で積が5の数の組を考えればよいので, 積から考えて, 5と1を得る。
したがって, 分子は,
$\sqrt{\mathstrut6-\sqrt5}=\sqrt{\mathstrut\left(\sqrt5-1\right)^2}=\sqrt5-1$
よって, 分母と合わせて,
$\dfrac{\sqrt5-1}{\sqrt2}$
分母の有理化をして,
$\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt2}{2}$ という答えになる。
二重根号についてさらに詳しく知りたい方はこちらをご覧ください。

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