TikZ：高校数学：数III積分・関数で囲まれた回転体の体積

こんにちは。今回は関数で囲まれた図形を $x$ 軸や $y$ 軸について回転させてできる立体の体積について書いておきます。

(面積)ー(面積)の積分

$0\leqq g(x)\leqq f(x),\, (a\leqq x\leqq b)$ のとき, 2曲線 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ , および2直線 $x=a$ , $x=b$ で囲まれた図形を $x$ 軸について1回転させてできる回転体の体積を $V$ とすると, 立体の断面積 $S(x)$ は図から,
$S(x)=\pi\{f(x)\}^2-\pi\{g(x)\}^2$
で与えられることから,
$V=\displaystyle\int^b_a S(x)\,dx=\pi\displaystyle\int^b_a\left[\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2\right]\, dx$
この式を注意してみると, この式は $y=f(x)$ の回転体の体積から, $y=g(x)$ の回転体の体積を引いたものになっていることが分かる。

$y$ 軸について回転させる場合は, $x$ 軸について回転させる場合の過程において, $x,\, y$ を入れ換えればよい。したがって, 以下のようになる。
$0\leqq g(y)\leqq f(y),\, (a\leqq y\leqq b)$ のとき, 2曲線 $x=f(y)$ , $x=g(y)$ , および2直線 $y=a$ , $y=b$ で囲まれた図形を $y$ 軸について1回転させてできる回転体の体積を $V$ とすると, 立体の断面積 $S(y)$ は図から,
$S(y)=\pi\{f(y)\}^2-\pi\{g(y)\}^2$
で与えられることから,
$V=\displaystyle\int^b_a S(y)\,dx=\pi\displaystyle\int^b_a\left[\{f(y)\}^2-\{g(y)\}^2\right]\, dx$
この式を注意してみると, この式は $x=f(y)$ の回転体の体積から, $x=g(y)$ の回転体の体積を引いたものになっていることが分かる。